Los seguidores de Manolo

Un grupo Zariski denso contiene una matriz diagonalizable

In Álgebra Lineal, Grupos y geometría on Lunes 9, agosto, 2010 at 9:26 am

por Andrés Sambarino

En el artículo sobre conjunto límite de subgrupos de {SL(d,{\mathbb R})} (este artículo) usamos un teorema de Benoist que enunciaba lo siguiente:

Teorema[Benoist]. Sea {\Gamma} un grupo Zariski denso de {SL(d,{\mathbb R})} entonces {{\Gamma}} contiene un elemento {{\gamma}} diagonalizable cuyos valores propios son positivos y distintos dos a dos.

La idea de este texto es entonces mostrar que para un grupo {{\Gamma}} Zariski denso de {SL(d,{\mathbb R})} es facil encontrar una matriz {{\gamma}\in{\Gamma}} diagonalizable cuyos valores propios sean todos distintos. O sea, el hecho de conseguirlos positivos es la parte más dificil del teorema de Benoist.

Utilizamos la siguiente definicion de densidad de Zariski:

Definición. Un conjunto {{\Gamma}} de {SL(d,{\mathbb R})} es Zariski denso si todo polinomio {p:SL(d,{\mathbb R})\rightarrow{\mathbb R}} que es nulo en {{\Gamma}} es necesariamente nulo en {SL(d,{\mathbb R}).}

Para ver una simple aplicación de esta definición veamos que si {{\Gamma}} es Zariski denso entonces la acción en {{\mathbb R}^d} es irreducible, es decir, no tiene ningun subespacio invariante.

Observación. Sean {{\Gamma}} Zariski denso en {SL(d,{\mathbb R}),} {W} un subespacio de codimensión 1 y {w\in W.} Entonces existe {{\gamma}\in{\Gamma}} tal que {{\gamma} w\notin W.}

Prueba. El subespacio {W} queda determinado por una ecuación de la forma

\displaystyle \{(x_1,\ldots,x_d)\in{\mathbb R}^d: a_1x_1+\cdots a_dx_d=0\}

donde {a_1,\cdots,a_d} son constantes reales. Dada una matriz {g=(g_{ij})} se tiene que {gw\in W} si

\displaystyle a_1(g_{11}w_1+\cdots+g_{1d}w_d)+\cdots+a_d(g_{d1}w_1+\cdots+g_{dd}w_d)=0

donde escribimos {w=(w_1,\ldots,w_d)}

Consideramos entonces el polinomio {P:SL(d,{\mathbb R})\rightarrow{\mathbb R}} en las variables {(g_{ij})} dado por

\displaystyle P(g)=a_1(g_{11}w_1+\cdots+g_{1d}w_d)+\cdots+a_d(g_{d1}w_1+\cdots+g_{dd}w_d)

Este polinomio es no nulo en {SL(d,{\mathbb R})} y es por tanto no nulo en {{\Gamma}.} Tenemos entonces una matriz {{\gamma}\in{\Gamma}} tal que {P({\gamma})\neq 0,} o sea, {{\gamma} w\notin W.}

\Box

La resultante

En esta sección trabajamos con polinomios en una variable real, es decir elementos de \mathbb R[x], aunque todo lo que demostremos aquí vale para polinomios con coeficientes en un dominio de factorización única (DFU).

Decimos que un polinomio h es un factor de un polinomio p si h divide a p, es decir p/h es un polinomio.

La resultante aparece como un método para verificar si 2 polinomios dados tienen algún factor en común. El caso más interesante para nosotros es verificar si comparten una raiz y (llendo un poco mas lejos) si un polinomio y su derivada comparten una raiz, es decir, si un polinomio dado tiene una raiz doble.

Podriamos definir la resultante como

\displaystyle Res(p,q)=\prod_{x:p(x)=0}q(x).

Con esta definición es claro que Res(p,q)=0 si y solo si {p} y {q} comparten una raiz. Lo que nos proponemos demostrar es que {Res(p,q)} puede obtenerse como un polinomio en los coeficientes de {p} y {q.}

Escribimos

\displaystyle p(x)=p_nx^n+\cdots +p_1x+p_0\textrm{ y }q(x)=q_mx^m+\cdots +q_0.

y definimos la matriz de Sylvester de p y q como una matriz {n+m} por {n+m} dada por

\displaystyle S(p,q)=\left(\begin{array}{ccccccc} p_n & p_{n-1} & \cdots & p_0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & p_n & p_{n-1} &\cdots & p_0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ & \ & \ & \ & \ & \vdots \\ q_m & q_{m-1} & \cdots & q_0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & q_m &q_{m-1} &\cdots & q_0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ & \ & \ & \ & \ & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & q_m & q_{m-1} & \cdots & q_0 \end{array}\right)

La primer fila consiste en los coeficientes de {p} seguidos de {m-1} ceros. La segunda fila es igual pero con los coeficientes corridos un lugar a la derecha y con un cero al principio y asi sucesivamente {m}-veces. Luego repetimos el mismo proceso con el polinomio {q.}

Por ejemplo, si {p} tiene grado 3 y {q} tiene grado 2 tenemos que {S(p,q)} es la siguiente matriz {5\times 5}

\displaystyle \left(\begin{array}{ccccc} p_3 & p_2 & p_1 & p_0 & 0 \\ 0 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 \\ q_2 & q_1 & q_0 & 0 & 0 \\ 0 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 \\ 0 & 0 & q_2 & q_1 & q_0 \end{array}\right).

Nos dirigimos entonces a probar la siguiente proposición:

Proposición. Dos polinomios {p} y {q} tienen un factor en comun si y solo si

{\det S(p,q)=0.}

Precisamos el siguiente lema.

Lema. Dos polinomios p y q tienen un factor en común si y solo si existen polinomios u y v de grados \textrm{grado}(v)<\textrm{grado}(p) y \textrm{grado}(u)\leq\textrm{grado}(q) tales que

up-vq=0

Prueba. Si tenemos p=hv y q=hu con \textrm{grado}(h)\geq1 entonces u y v verifican la tesis. Recíprocamente, si tenemos up=vq entonces, como el grado de v es menor que el de p, no todos los factores de p son factores de v. Esto implica que algún factor de p es factor de q.

\square

Para probar la proposición mostramos que un elemento del núcleo de la matriz traspuesta {S(p,q)^t} nos da un par de polinomios {u} y {v} que verifican el lema.

Sea {w=(u_{m-1},\ldots,u_0,v_{n-1},\ldots,v_0)\neq0} tal que {S(p,q)^tw=0} y consideramos los polinomios {u(x)=u_{m-1}x^{m-1}+\cdots+ u_0} y {v(x)=v_{n-1}x^{n-1}+\cdots+v_0}. Cuando calculamos explicitamente {S(p,q)^tw} vemos que la primer coordenada queda:

\displaystyle u_{m-1}p_n + v_{n-1}q_m=0

es decir, el termino de mayor grado del polinomio {up+vq} se anula. Con la siguiente coordenada obtenemos

\displaystyle u_{m-1}p_{n-1}+ u_{m-2}p_n+v_{n-1}q_{m-1}+ v_{n-2}q_m=0

que quiere decir que el termino de segundo mayor grado de {up+vq} se anula. Calculando el resto de las coordenadas obtenemos {up+vq=0.} Esto junto al lema prueba la proposición.

\square

Elementos de valores propios diferentes.

Para terminar vamos a probar lo siguiente:

Proposición. Sea {{\Gamma}} un grupo Zariski denso de {SL(d,{\mathbb R})} entonces {{\Gamma}} contiene un elemento cuyos valores propios son diferentes dos a dos.

Prueba. Dada una matriz g notamos X_g a su polinomio característico y X_g' su derivada. Los coeficientes de X_g son polinomios en las entradas de la matriz g. Tenemos entonces que la función \Delta:SL(d,\mathbb R)\to\mathbb R dada por

\Delta(g)=\det S(X_g,X_g')

es un polinomio en las entradas de {g.} Observamos que {\Delta(g)} vale 0 si y solo si {g} tiene dos valores propios iguales.

Como {\Delta} es un polinomio no nulo en {SL(d,{\mathbb R})} entonces es no nulo en {{\Gamma},} de donde existe un elemento {{\gamma}\in{\Gamma}} cuyos valores propios son distintos dos a dos.

\Box


  1. ¡Buenísimo el artículo!

    Leyendoló da la impresión de que la densidad zariski es algo super fuerte. Sin embargo, en la discussión posterior al otro artículo sobre este tema (https://coloquiooleis.wordpress.com/2009/03/08/conjunto-limite-de-grupos-de-schottky/) mencionabas que en realidad es fácil constuir subgrupos densos, incluso generados por dos elementos.

    ¿Podés dar alguna idea de como se hace eso?…. o puede quedar para otro artículo🙂. En fin, interesantísimo el tema.

  2. A mi me parece que la densidad de Zariski es lo menos que podes pedir si querés estudiar subgrupos discretos de SL(d,\mathbb R). Esto es, por ejemplo, porque si \Gamma es abeliano (o nilpotente) entonces su clausura de Zariski también lo es y en ese caso te olvidas de SL(d,\mathbb R) y estudiás subgrupos de grupos abelianos y usas toda esa estructura algebraica.

    En definitiva ser Zariski denso en SL(d,\mathbb R) es una condición suficientemente fuerte como para heredar propiedades de SL(d,\mathbb R), pero suficienteme débil como para tener una buena cantidad de ejemplos.

    Voy a ver si cumplo la promesa y escribo como construir grupos Zariski densos.

  3. […] a modification of the arguments in this blog post here (in Spanish) permits to prove that any Zariski-dense monoid contains a pinching matrix , […]

  4. […] (el discriminante de ) se define como el cuadrado del discriminante de (como esta definido acá, ahí le llamé resultante a lo que ahora le llamo discriminante…). Como se tiene que y […]

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