Los seguidores de Manolo

Un criterio para la densidad de Zariski

In Grupos y geometría on Martes 17, agosto, 2010 at 2:47 pm

por Andrés Sambarino

En este texto vamos a mostrar un criterio para determinar si un subgrupo de SL(d,\mathbb R) es Zariski denso. Usando el criterio vamos a ver como se construyen subgrupos de SL(d,\mathbb R) que verifican esta propiedad.

El criterio consiste en estudiar la acción de SL(d,\mathbb R) en su álgebra de Lie

\mathfrak{sl}(d,\mathbb R) = \{\text{matrices }d\times d\text{ de traza }0\}

via conjugación: Para g\in SL(d,\mathbb R) definimos \text{Ad}(g):\mathfrak{sl}(d,\mathbb R)\to \mathfrak{sl}(d,\mathbb R) como

\text{Ad}(g)X=gXg^{-1}.

Proposición[Criterio de densidad de Zariski] Un subgrupo \Gamma de SL(d,\mathbb R) es Zariski denso si y solo si \text{Ad}\Gamma es irreducible en \mathfrak{sl}(d,\mathbb R), es decir, no tiene subespacios invariantes.

Consideramos por ejemplo una matriz diagonal \gamma= \text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_d). La transformación \text{Ad}(\gamma)(X)=\gamma X\gamma^{-1} es también diagonalizable: las matrices e_{ij} (todo ceros y un 1 en el lugar ij) para i\neq j son vectores propios de valor propio \lambda_i \lambda_j^{-1} y las matrices e_{ii}-e_{jj} lo son con el valor propio 1.

Un subespacio invariante para \text{Ad}(\gamma) es una suma de subespacios propios. Es fácil entonces considerar otra matriz h de forma que \text{Ad}(\gamma) y \text{Ad}(h) no tengan ningún subespacio invariante en común. El grupo generado por \gamma y h será entonces Zariski denso.

Prueba del criterio.

Para demostrar la proposición necesitamos algunos conceptos y lemas.

La topología de Zariski en SL(d,\mathbb R) es la topología mas débil que hace continuos a los polinomios. Los cerrados son intersecciones arbitrarias y uniones finitas de conjuntos de la forma p^{-1}(\{0\}) donde p es un polinomio.

Como en esta topología hay pocos cerrados es fácil pasar de un subgrupo discreto a un subgrupo mas grande.

Lema. La clausura de Zariski \overline{\Gamma} de un subgrupo \Gamma de SL(d,\mathbb R) es un grupo de Lie. Si \overline{\Gamma} tiene dimensión 0 entonces \Gamma es finito.

Demostración. Para probar este lema se usan herramientas de la geometría algebraica que podemos saltear. La idea general es usar el teorema de los ceros de Hilbert (para la primera parte) y el hecho que una variedad algebraica solo tiene una cantidad finita de componentes conexas (para la segunda).

\square

Ahora podemos demostrar una de las implicaciones de la proposición.

Demostración. Vamos a demostrar que un subgrupo infinito \Gamma de SL(d,\mathbb R) que actúa irreduciblemente en \mathfrak{sl}(d,\mathbb R) es Zariski denso.

Consideramos la clausura de Zariski \overline{\Gamma} y \mathfrak g su álgebra de Lie. Es claro que \mathfrak g es un subespacio de \mathfrak{sl}(d,\mathbb R) \text{Ad}\, \Gamma invariante.

Como \Gamma es infinito del lema tenemos que \dim \mathfrak g\neq0.

Si \overline{\Gamma} no es todo SL(d,\mathbb R) entonces \mathfrak g tampoco es todo y tenemos que \text{Ad}\, \Gamma deja invariante un subespacio propio de \mathfrak{sl}(d,\mathbb R).

\square

Para ver el recíproco, es decir que un grupo Zariski denso actúa irreduciblemente en \mathfrak{sl}(d,\mathbb R) precisamos la siguiente propiedad de SL(d,\mathbb R) que no vamos a demostrar.

Lema. SL(d,\mathbb R) es simple, es decir, no tiene subgrupos normales de dimensión positiva. De forma equivalente, el álgebra de Lie \mathfrak{sl}(d,\mathbb R) no tiene ideales.

Vemos que si \text{Ad}\,\Gamma tiene un subespacio invariante \mathfrak g este es necesariamente un ideal:

Consideramos el grupo

\Sigma=\{g\in SL(d,\mathbb R): \text{Ad}(g)\mathfrak g=\mathfrak g\}

Como la propiedad “preservar un subespacio” puede escribirse como un conjunto de ceros de polinomios tenemos que el grupo \Sigma es cerrado en la topología de Zariski. Dado que \Gamma\subset\Sigma y \Gamma es Zariski denso en SL(d,\mathbb R) tenemos

\Sigma=SL(d,\mathbb R).

O sea \mathfrak g es un ideal de \mathfrak{sl}(d,\mathbb R).

Concluimos usando el lema que el único subespacio de \mathfrak{sl}(d,\mathbb R) que es \text{Ad}\, \Gamma invariante es todo el espacio.

\square

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: