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Superficies Esenciales.

In Grupos y geometría, Topología on Jueves 23, septiembre, 2010 at 2:20 pm

por Andrés Sambarino

Supongamos que estamos en la siguiente situación: Tenemos una variedad Riemanniana M de curvatura \leq0 cuyo grupo fundamental \Gamma es el \pi_1 de alguna superficie hiperbólica \Sigma_g. El contexto es tal que tenemos \dim M>2.

A uno le gustaría decir entonces que M contiene una copia de \Sigma_g cuyo \pi_1 se inyecta en el de M. Resulta que esto es cierto y es (relativamente) fácil de demostrar.

Sea \tilde M el cubrimiento universal de M. Recordamos que \Gamma actúa en \tilde M por isometrías y que M=\tilde M\slash \Gamma.

Teorema A. Identificamos \Gamma con un subgrupo discreto de isometrías de \mathbb H^2. Entonces existe F:\mathbb H^2\to\tilde M continua y \Gamma-equivariante, es decir que para todos \gamma\in\Gamma y x\in\mathbb H^2 se tiene F(\gamma x)=\gamma F(x).

 

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