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Superficies Esenciales.

In Grupos y geometría, Topología on Jueves 23, septiembre, 2010 at 2:20 pm

por Andrés Sambarino

Supongamos que estamos en la siguiente situación: Tenemos una variedad Riemanniana M de curvatura \leq0 cuyo grupo fundamental \Gamma es el \pi_1 de alguna superficie hiperbólica \Sigma_g. El contexto es tal que tenemos \dim M>2.

A uno le gustaría decir entonces que M contiene una copia de \Sigma_g cuyo \pi_1 se inyecta en el de M. Resulta que esto es cierto y es (relativamente) fácil de demostrar.

Sea \tilde M el cubrimiento universal de M. Recordamos que \Gamma actúa en \tilde M por isometrías y que M=\tilde M\slash \Gamma.

Teorema A. Identificamos \Gamma con un subgrupo discreto de isometrías de \mathbb H^2. Entonces existe F:\mathbb H^2\to\tilde M continua y \Gamma-equivariante, es decir que para todos \gamma\in\Gamma y x\in\mathbb H^2 se tiene F(\gamma x)=\gamma F(x).

 

Este teorema es consecuencia de un teorema de Hadamard, que describe la topología de \tilde M, y de una propiedad sobre fibrados de fibra contractible cuya prueba, y más detalles sobre fibrados, se puede ver acá.

Teorema[Hadamard]. Sea \tilde M una variedad simplemente conexa y de curvatura \leq0 entonces \tilde M es homeomorfa a \mathbb R^d, donde d es la dimensión de \tilde M.

Proposición. Sea E un fibrado de base X, una variedad, y de fibra contractible. Entonces existe una sección de E, es decir, un mapa continuo s:X\to E tal que s(x) pertenece a la fibra de x.

Vamos entonces a probar el teorema A.

Demostración. Consideramos la variedad \tilde E=\mathbb H^2\times \tilde M y la acción de \Gamma en \tilde E sobre cada coordenada. La proyeccion p:\tilde E\to \mathbb H^2 es obviamente \Gamma-equivariante e induce entonces un fibrado E\to \Sigma_g donde

E=\Gamma\backslash (\mathbb H^2\times \tilde M).

La fibra del fibrado p:E\to\Sigma_g es \tilde M (y no M como uno diría apresuradamente).

Como \tilde M es homeomorfo a \mathbb R^d, que es contractible, obtenemos, usando la proposición, una función F:\Sigma_g\to E, es decir tenemos una función F:\mathbb H^2\to \mathbb H^2\times \tilde M que es \Gamma-equivariante, que es lo que queríamos demostrar.

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