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¿Que es un Hamiltoniano?

In Física, Sistemas Dinámicos on Domingo 31, octubre, 2010 at 3:55 pm

por Pablo Lessa

Voy a escribir sobre cosas de las cuales no sé mucho (mi motivación, en parte, es entender la formulación Hamiltoniana del flujo geodésico).  Espero que resulte de interés para el resto del coloquooleis.

Otra introducción a la dinámica Hamiltoniana puede encontrarse en este artículo de scholarpedia.  También por lo que he visto puedo recomendar las notas de John Baez (y su, ya clásico, this weeks finds in theoretical physics) y lo que parece ser la biblia para matemáticos tratando de entender estos asuntos: el libro de Abraham y Marsden.

Dinámica de una partícula en \mathbb{R}

Estamos interesados en el movimiento de una única partícula de masa 1 en \mathbb{R} bajo las Leyes de Newton.  La trayectoria de la particula es una función x: \mathbb{R} \to \mathbb{R}.  Esta función puede ser cualquiera de las soluciones a una ecuación diferencial de segundo orden.

Para que quede determinada dicha ecuación debemos especificar un modelo para las fuerzas que actúan.  En nuestro caso supongamos que las fuerzas son una función de la posición y de la velocidad (y no, por ejemplo, del tiempo).    De esta manera supongamos fijada una función F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} que modela las fuerzas.

La segunda ley de Newton indica que la trayectoria x de la partícula debe cumplir:

x'' = F(x,x')

Algunos ejemplos clásicos para F son:

  • La partícula libre: F = 0.  Las trayectorias son el famoso “movimiento rectilíneo uniforme”.
  • Oscilador armónico: F(x,x') = -x
  • Caída libre: F(x,x') = 1
  • Caída libre con rozamiento: F(x,x') = 1 - x'
  • Fuerza dada por un potencial:  F(x,x') = -V'(x) donde V es una función real diferenciable.

Excepto por la caída libre con rozamiento, todos los ejemplos que dimos caen dentro de la familia “Fuerzas dadas por un potencial”.  En el caso de la partícula libre el potencial es nulo.  En el caso del oscilador armónico tenemos V(x) = \frac{1}{2}x^2.  Y en el caso de la caida libre V(x) = -x.  La idea es que la fuerza (i.e. la aceleración de la partícula) apunta desde potencial alto hacia potencial bajo.

En el caso de fuerzas dadas por un potencial lo interesante es que todas las trayectorias x:\mathbb{R} \to \mathbb{R} cumplen que se conserva (i.e. no depende de t) la cantidad E(x,x') = V(x) + \frac{1}{2}(x')^2 que es la llamada Energía Mecánica del sistema.  El término \frac{1}{2}(x')^2 es la llamada energía cinética, mientras que el valor del potencial V(x) se llama la energía potencial.  El hecho de que E se conserva sobre las trayectorias se puede verificar derivando:

E(x,x')'= (V(x) + \frac{1}{2}x'^2)' = V'(x)x' + x'x'' = V'(x)x' + x' F(x,x') = V'(x)x'- x' V'(x) = 0

Formulación Hamiltoniana de la dinámica de una partícula en \mathbb{R}

La formulación Hamiltoniana de la mecánica de una partícula en \mathbb{R} en un potencial V: \mathbb{R} \to \mathbb{R} consiste en empezar con la energía (donde q es la posición y v la velocidad):

E(q,v) = V(q) + \frac{1}{2}v^2

Y luego, a través de un cambio de coordenadas (que en este caso es trivial con v = p), definir una función Hamiltoniana:

H(q,p) = V(q) + \frac{1}{2}p^2

Los nombres estandard para los argumentos de H son q (posición) y p (momento) en ese orden (contrario al alfabético).

Las “trayectorias generalizadas” que buscamos son curvas (q,p): \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 que cumplen las llamadas Ecuaciones de Hamilton:

\left\{\begin{array}{cc}q' = &\frac{\partial}{\partial p}H(q,p)\\p' = &-\frac{\partial}{\partial q}H(q,p)\end{array}\right.

Miremos los ejemplos (excepto el de caida libre con rozamiento que no proviene de un potencial):

  • Partícula Libre:  H(q,p) = \frac{1}{2}p^2.
  • Caída Libre: H(q,p) = \frac{1}{2}p^2 - q
  • Oscilador Armónico: H(q,p) = \frac{1}{2}p^2 + \frac{1}{2}q^2
  • Fuerza dada por un potencial: H(q,p) = \frac{1}{2}p^2 + V(q)

Las ecuaciones de Hamilton quedan así:

\left\{\begin{array}{cc}q' = &p\\p' = &-V'(q)\end{array}\right.

Se puede observar que es exactamente equivalente a la formulación Newtoniana que habíamos dado para las ecuaciones de movimiento en la sección anterior.

Un punto interesante a observar es el siguiente.  Si definimos el campo X: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 como:

X(q,p) = (\frac{\partial}{\partial p}H(q,p), -\frac{\partial}{\partial q}H(q,p))

Podemos calcular la divergencia de X y obtenemos:

\text{div}(X) = \frac{\partial}{\partial q}\frac{\partial}{\partial p}H + \frac{\partial}{\partial p}(-\frac{\partial}{\partial q}H) = 0

Esto implica que el flujo generado por el campo X (i.e. el de las trayectorias generalizadas (q,p)) preserva área en \mathbb{R}^2.

Cambio de Coordenadas.

Supongamos dado un potencial V:\mathbb{R} \to \mathbb{R}.  Y supongamos que (por capricho) queremos estudiar la dinámica de una partícula bajo este potencial pero en un nuevo sistema de coordenadas dado por un diffeomorfismo f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}.

La energía (que debe conservarse sobre las trayectorias) en nuestro sistema de coordenadas es:

E(q,v) = \frac{1}{2} (f'(q)v)^2 + V(f(q))

Definamos, en nuestras coordenadas, el potencial W(q) = V(f(q)) y la métrica Riemanniana ds^2 = f'^2 dq^2.  El milagro de la mecánica analítica (similar al milagro de la geometría intrínseca de superficies con su teorema Egregium y el cálculo de geodésicas en coordenadas locales) es que con estos dos datos “traidos para atrás” a un sistema de coordenadas arbitrario, podemos formular las ecuaciones de movimiento.  Sin embargo, como veremos, no es totalmente trivial hacerlo.

Si definieramos, en forma equivocada, p = v y el Hamiltoniano como:

Atención que esto está mal: H(q,p) = \frac{1}{2} (f'(q)p)^2 + V(f(q))

Las ecuaciones de movimiento de Hamilton quedarían:

Mal: \left\{\begin{array}{cc}q' = &f'(q)^2p\\p' = &-f'(q)f''(q)p^2-W'(q)\end{array}\right.

Estas ecuaciones no pueden ser correctas porque E(q,q') no es constante sobre las trayectorias (lo que se cumple es que E(q,p) es constante).

Observemos que la ecuacion de movimiento en el sistema de coordenadas usual en \mathbb{R} es:

x'' = -V'(x)

Si suponemos que tenemos una curva q: \mathbb{R} \to \mathbb{R} tal que x = f(q) satisface esta ecuacion entonces:

f(q)'' = -V'(f(q))

o equivalentemente

f''(q)q' + f'(q)q'' = -\frac{1}{f'(q)}W'(q)

Describimos a continuación el procedimiento para obtener un Hamiltoniano tal que las ecuaciones de Hamilton sean equivalentes a la ecuación anterior.

Notemos que cada elemento (q,v) \in \mathbb{R}^2 visto como elemento del tangente a la recta, se identifica mediante la métrica que tenemos con un elemento del cotangente (q,p) donde p: \mathbb{R} \to \mathbb{R} está dada por:

p(w) = \langle v,w\rangle_q = f'(q)^2 vw

Otra forma de escribir esto (identificando p con su coeficiente) es:

p = f'(q)^2v.

Definimos el Hamiltoniano de manera que H(q,p) = E(q,v).   Es decir:

H(q,p) = \frac{1}{2f'(q)^2}p^2 + W(q)

Las ecuaciones de Hamilton quedan:

\left\{\begin{array}{cc}q' = &\frac{1}{f'(q)^2}p\\p' = &\frac{f''(q)}{f'(q)^3}p^2-W'(q)\end{array}\right.

Puede verificarse fácilmente que son correctas.

El péndulo simple

Consideremos una partícula restringida a moverse sobre el círculo S^1 = \{z \in \mathbb{C}: |z| = 1\} y sujeta a los efectos de un campo gravitatorio constante.  El modelo de fuerzas para este sistema (y por lo tanto las ecuaciones de movimiento) quedan determinadas por las siguientes consideraciones:

  • La velocidad debe ser siempre tangencial a S^1 y por lo tanto la aceleración normal debe ser centrípeta (i.e. hacia el origen) y de norma igual al cuadrado de la velocidad.
  • La aceleración tangencial debe ser la proyección sobre la dirección tangente del campo gravitario (que supongamos por ejemplo es siempre igual a 1 de modo que apunta para la derecha, y no para abajo, en la imagen usual de \mathbb{C}; esto es para simplificar un poco las fórmulas pero obviamente no es escencial).

Si plantearamos las ecuaciones de movimiento utilizando el modelo de fuerzas, tendríamos un sistema de 2 ecuaciones differenciales de segundo orden (una para cada coordenada) o un sistema de 4 ecuaciones de primer orden.  Aquí empieza a notarse la virtud de la formulación “libre de coordenadas” (i.e. con libre elección de coordenadas) de la mecánica.

Fijemos coordenadas en el círculo a través del mapa exponencial q \mapsto \exp(iq) donde q \in \mathbb{R}.

La métrica Riemanniana en coordenadas es la métrica usual de \mathbb{R}.  La energía mecánica en coordenadas es:

E(q,v) = \frac{1}{2}v^2 - \cos(q)

El cambio de coordenadas al cotangente (utilizado para definir el Hamiltoniano) es trivial p = v y por lo tanto el Hamiltoniano es:

H(q,p) = \frac{1}{2}p^2 - \cos(q)

Las ecuaciones de movimiento de Hamilton son:

\left\{\begin{array}{cc}q' = &p\\p' = &-\sin(q)\end{array}\right.

En el plano (q,p) las ecuaciones de Hamilton definen un flujo que preserva área.  Las trayectorias de este flujo se mantienen sobre las curvas de nivel (i.e. de energía constante).  Los valores críticos del Hamiltoniano H son sólamente -1 (que es el valor mínimo y se da por ejemplo en (q,p) = (0,0)) y 1 (que es el valor máximo del potencial, y se da por ejemplo en (q,p) = (\pi,0)).  Todas las demás curvas de nivel son variedades.  Un analisis muy elegante de este sistema (¡con dibujos!) puede encontrarse en este artículo de Alain Chenciner.

El flujo geodésico en la esfera

Consideremos la esfera S^2 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: x^2 + y^2 + z^2 = 1\}.  Fijemos coordenadas esféricas (cierto que los polos son valores críticos de esta parametrización pero obviemos esto) a través del mapa q \mapsto (\sin(q_1)\cos(q_2),\sin(q_1)\sin(q_2),\cos(q_1)) donde q = (q_1,q_2) \in \mathbb{R}^2.

La métrica en coordenadas es:

\mathrm{d}s^2 = \mathrm{d}q_1^2 + \sin(q_1)^2 \mathrm{d}q_2^2

La energía mecánica en coordenadas es (sólo energía cinética):

E(q,q') = \frac{1}{2}\|q'\|^2_q = \frac{1}{2}q_1'^2 + \frac{1}{2}\sin(q_1)^2q_2'^2

Utilizando la métrica cada vector v = (v_1,v_2) \in T_q\mathbb{R}^2 queda identíficado con el elemento p = (p_1,p_2) \in T_q^*\mathbb{R}^2 dado por:

p_1 = v_1

p_2 = \sin(q_1)^2 v_2

El Hamiltoniano se define de tal modo que E(q,v) = H(q,p) y por lo tanto:

H(q,p) = \frac{1}{2}p_1^2 + \frac{1}{2\sin(q_1)^2}p_2^2

Las ecuaciones de Hamilton son:

\left\{\begin{array}{cc}q_1' = &p_1\\q_2' = &\frac{1}{\sin(q_1)^2}p_2\\ p_1' = &-\sin(q_1)\cos(q_1)p_2^2\\p_2' = &0\end{array}\right.

Hacemos notar que se deduce de estas ecuaciones que, no sólo H es constante en las trayectorias sino también p_2.  Concretamente para toda geodésica vista en estas coordenadas se tiene:

\sin(q_1)^2q_2' = \text{constante} = C

Notemos que q_1 da el paralelo en el cual se encuentra el punto, donde q_1 = 0 es el polo norte, q_1 = \frac{1}{2}\pi el ecuador, y q_1 = \pi el polo sur.  Por lo tanto \sin(q_1) es el radio del paralelo sobre el cual se encuentra el punto.   Esto implica que v_p = \sin(q_1)q_2' es la velocidad en la dirección tangente al paralelo.  En vista de esto la cantidad conservada \sin(q_1)v_p se identifica como el momento ángular de la trayectoria alrededor del eje que pasa por los polos.

El flujo geodésico hiperbólico

Consideremos el semiplano superior \mathbb{H} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: y > 0\} con la métrica hiperbólica:

ds^2 = \frac{1}{y^2}dx^2 + \frac{1}{y^2}dy^2

La energía mecánica la definimos de la manera obvia:

E: \mathbb{H}\times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}

E(q,v) = \frac{1}{2}\|v\|^2_q = \frac{1}{2y^2}v_1^2 + \frac{1}{2y^2}v_2^2

Donde q = (x,y) y v = (v_1,v_2).

La identificación del tangente con el cotangente a través de la métrica está dada por la fórmula:

p = \frac{1}{y^2}v

El Hamiltoniano, por lo tanto es:

H: \mathbb{H}\times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}

H(q,p) = E(q,y^2p) = \frac{1}{2}y^2p_1^2 + \frac{1}{2}y^2p_2^2

Las ecuaciones de Hamilton para el flujo geodésico hiperbólico son:

\left\{\begin{array}{cc}x' = &y^2p_1\\y' = &y^2p_2\\ p_1' = &0\\p_2' = &-(p_1^2 + p_2^2)y\end{array}\right.

Se ve claramente que p_1 = \frac{1}{y^2}x' es constante sobre las geodésicas.

Si p_1 = 0 obtenemos geodésicas de la forma:

t \mapsto (x, e^{Ct})

Si p_1 \neq 0 se cumple:

p_2' \le -p_1^2 y

De lo cual se deduce que p_2 decrece monótonamente, y y \to 0 (dado que si y está acotado por abajo eventualmente p_1' tiene una cota superior negativa y por lo tanto y' también).

En este caso claramente podemos obtener fórmulas explícitas para las geodésicas utilizando las isometrías de la métrica (que son muchas).  Sin embargo, me parece interesante destacar que a partir de la formulación Hamiltoniana se pueden obtener varios datos interesantes.  Por ejemplo, si el Hamiltoniano no depende de alguna coordenada se obtiene una cantidad conservada sobre las trayectorias (en este caso \frac{1}{y^2}x').  Esto es un caso particular de un Teorema de Noether que dice que cada flujo que preserva H (en nuestro caso \phi^t(x,y) = (x+t,y)) da lugar a una cantidad conservada para el flujo Hamiltoniano.

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