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Algunas variedades que no admiten difeomorfismos de Anosov.

In Sistemas Dinámicos, Topología on Viernes 12, noviembre, 2010 at 8:43 am

por Rafael Potrie

En un post anterior, estudiamos unos trabajos de Franks y Manning acerca de la clasificación de difeomorfismos de Anosov en el Toro \mathbb{T}^d. En particular, vimos que para que dicha variedad admita un Anosov, había ciertas restricciones en la clase de homotopía de dicho difeomorfismo (tenía que ser homotópico a un difeomorfismo de Anosov lineal), esto era consecuencia del Teorema de Indice de Lefschetz.

En este post, voy a mostrar como esa idea puede ser levemente empujada en función de obtener más restricciones en la topología de una variedad que admite un difeomorfismo de Anosov (y en particular, en como tiene que actuar en la homología de la variedad).

Una consecuencia particular del estudio, nos va a dar que:

Teorema 1 La esfera S^d no admite difeomorfismos de Anosov.

Notar que al día de hoy, los unicos difeomorfismos de Anosov conocidos son los que aparecen en infranilvariedades (estos estan clasificados hasta dimensión 8, ver aqui), y se sabe también que en dimensión menor o igual a 3, todos tienen que ser difeomorfismos de Toros y estos son los únicos ejemplos en dichas dimensiones. Se conjetura que todos los difeomorfismos de Anosov deberían ser en infranilvariedades (lo cual implicaría que son conjugados a ejemplos algebraicos) y en particular, deberían ser transivos (pero incluso esto último, es un problema abierto).  El Teorema 1  fue probado en este artículo (creo yo que por primera vez, pero no se).

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Una versión del Teorema de Sard para mapas de R en R^d.

In Análisis Real y Complejo on Viernes 5, noviembre, 2010 at 3:08 pm

por Rafael Potrie

En algunos post pasados (este y este) estudiamos formas de probar que un mapa de {S^k} en {S^n} con {k<n} siempre podia ser perturbado a un mapa que no fuese sobreyectivo. La pregunta cobra sentido desde el momento que existen mapas continuos del intervalo {[0,1]} en {S^n} que son sobreyectivos para todo {n\geq 1} (ver aquí).

Una de las maneras de lograr esta perturbación, dijimos que era aproximar el mapa por uno diferenciable, ya que en dicho caso, el Teorema de Sard nos garantizaba que para una función suficientemente diferenciable, un mapa de {S^k} en {S^n} con {n<k} no podia ser sobreyectiva. También mencionamos que era un poco fuerte usar ese resultado para probar algo relativamente natural.

En este post, pretendo explicar un Lema que me enseño Martín Sambarino que permite dar una prueba relativamente elemental de este hecho.

Recordamos que una función {f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}} es de variación acotada por {K} si para todos {0=x_0 < x_1 < \ldots < x_k = 1} se tiene que {\sum_{i=1}^k |f(x_i)-f(x_{i-1})| \leq K}. Obviamente, una función diferenciable es de variación acotada (de hecho, su variación es la integral del módulo de su derivada).

Lemma 1 Sea {g=(g_1,g_2): [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2} una función continua tal que cada coordenada es de variación acotada, entonces, la imagen de {g} no contiene ningún abierto.

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