Una versión del Teorema de Sard para mapas de R en R^d.

In Análisis Real y Complejo on viernes 5, noviembre, 2010 at 3:08 pm

En algunos post pasados (este y este) estudiamos formas de probar que un mapa de ${S^k}$ en ${S^n}$ con ${k<n}$ siempre podia ser perturbado a un mapa que no fuese sobreyectivo. La pregunta cobra sentido desde el momento que existen mapas continuos del intervalo ${[0,1]}$ en ${S^n}$ que son sobreyectivos para todo ${n\geq 1}$ (ver aquí).

Una de las maneras de lograr esta perturbación, dijimos que era aproximar el mapa por uno diferenciable, ya que en dicho caso, el Teorema de Sard nos garantizaba que para una función suficientemente diferenciable, un mapa de ${S^k}$ en ${S^n}$ con ${n<k}$ no podia ser sobreyectiva. También mencionamos que era un poco fuerte usar ese resultado para probar algo relativamente natural.

En este post, pretendo explicar un Lema que me enseño Martín Sambarino que permite dar una prueba relativamente elemental de este hecho.

Recordamos que una función ${f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}}$ es de variación acotada por ${K}$ si para todos ${0=x_0 < x_1 < \ldots < x_k = 1}$ se tiene que ${\sum_{i=1}^k |f(x_i)-f(x_{i-1})| \leq K}$ . Obviamente, una función diferenciable es de variación acotada (de hecho, su variación es la integral del módulo de su derivada).

Lemma 1 Sea ${g=(g_1,g_2): [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2}$ una función continua tal que cada coordenada es de variación acotada, entonces, la imagen de ${g}$ no contiene ningún abierto.

Llamamos variación de ${f}$ en ${U\subset [0,1]}$ (que notamos como ${var(f,U)}$ ) al supremo de ${\sum_{i=1}^{k}|f(y_i)-f(x_i)|}$ entre las familias de ${x_1<y_1 \leq x_2 < y_2 \leq \ldots \leq x_k < y_k}$ de puntos tal que ${[x_i,y_i] \in U}$ . Es muy fácil ver que si ${U\subset V}$ , entonces ${var(f,U)\leq var(f,V)}$ y si ${U,V}$ son disjuntos, entonces ${var(f,U\cup V) = var(f,U) + var(f,V)}$ . Naturalmente, ${f}$ será de variación acotada por ${K}$ si y solamente si ${var(f, [0,1]) \leq K}$ .

Una última observación que vale la pena hacer sobre la variación es la siguiente: Supongamos que ${K\subset [0,1]}$ verifica que ${f(K)}$ contiene un intervalo ${[a,b]}$ . Entonces, tenemos que ${var(f,U)\geq b-a}$ para cualquier ${U}$ abierto que contenga a ${K}$ (notar que podemos asumir, tomando un subconjunto de ${U}$ , que ${U}$ tiene finitas componentes conexas ya que ${K}$ es compacto). Esto se puede ver considerando una partición de ${[a,b]}$ suficientemente peque\~na (utilizando la continuidad uniforme de ${f}$ ) de forma tal que la preimagen de dos puntos siempre quede contenida en una componente de ${U}$ . Ahora, tomando esa sucesión de puntos, obtenemos variación igual a ${b-a}$ exactamente. Como la variación es el supremo de esos numeros, esto prueba la afirmación.

Demostración: Supongamos que la imagen de ${g}$ contiene un abierto, sin perdida de generalidad, podemos suponer que contiene un conjunto de la forma ${[-\varepsilon, \varepsilon]^2}$ .

Fijado ${t\in [-\varepsilon, \varepsilon]}$ , tenemos que el conjunto ${g_1^{-1}(t)}$ es un compacto de ${[0,1]}$ . Naturalmente, si ${t' \neq t}$ , tenemos que ${g_1^{-1}(t') \cap g_1^{-1}(t) = \emptyset}$ .

Dado que la imagen de ${[0,1]}$ por ${g}$ contiene todo el cuadrado ${[-\varepsilon, \varepsilon]^2}$ , en particular contiene la linea ${\{t\} \times [-\varepsilon, \varepsilon]}$ .

Esto implica que si consideramos ${U_t}$ un entorno cualquiera de ${g_1^{-1}(t)}$ , la variación de ${g_2}$ en ese entorno tiene que ser como mínimo ${2\varepsilon}$ (notar que ${g_2(U_t)}$ contiene ${[-\varepsilon, \varepsilon]}$ y por lo tanto, ${var(g_2, U_t) \geq 2\varepsilon}$ ).

Fijando ${N>0}$ , y considerando cubrimientos disjuntos ${U_{t_1}, \ldots, U_{t_k}}$ de ${g_1^{-1}(t_1), \ldots, g_1^{-1}(t_k)}$ respectivamente con ${t_i \in [-\varepsilon, \varepsilon]}$ distintos dos a dos y tal que ${2\varepsilon k> N}$ , obtenemos que la variación de ${g_2}$ es necesariamente mayor que ${N}$ . Siendo ${N}$ arbitrario, contradecimos el hecho de que ${g_2}$ era de variación acotada por hipotesis.

$\Box$

Naturalmente, la misma prueba nos da también que ningun mapa ${g=(g_1, \ldots, g_k): [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^k}$ cuyas coordenadas son de variación acotada puede contener un abierto en su imagen. Sin embargo, la generalización a mapas de ${[0,1]^k \rightarrow \mathbb{R}^n}$ con ${k<n}$ necesita adaptaciones (para empezar definir variación acotada!). Para hacerlo en dimensiones más grandes, se me ocurre que la idea puede imitarse para mapas diferenciables, utilizando cubrimientos pequeños donde se puede controlar la «medida» de las imagenes (y sin darnos cuenta, acercarnos a la prueba del Teorema de Sard).