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Algunas variedades que no admiten difeomorfismos de Anosov.

In Sistemas Dinámicos, Topología on Viernes 12, noviembre, 2010 at 8:43 am

por Rafael Potrie

En un post anterior, estudiamos unos trabajos de Franks y Manning acerca de la clasificación de difeomorfismos de Anosov en el Toro \mathbb{T}^d. En particular, vimos que para que dicha variedad admita un Anosov, había ciertas restricciones en la clase de homotopía de dicho difeomorfismo (tenía que ser homotópico a un difeomorfismo de Anosov lineal), esto era consecuencia del Teorema de Indice de Lefschetz.

En este post, voy a mostrar como esa idea puede ser levemente empujada en función de obtener más restricciones en la topología de una variedad que admite un difeomorfismo de Anosov (y en particular, en como tiene que actuar en la homología de la variedad).

Una consecuencia particular del estudio, nos va a dar que:

Teorema 1 La esfera S^d no admite difeomorfismos de Anosov.

Notar que al día de hoy, los unicos difeomorfismos de Anosov conocidos son los que aparecen en infranilvariedades (estos estan clasificados hasta dimensión 8, ver aqui), y se sabe también que en dimensión menor o igual a 3, todos tienen que ser difeomorfismos de Toros y estos son los únicos ejemplos en dichas dimensiones. Se conjetura que todos los difeomorfismos de Anosov deberían ser en infranilvariedades (lo cual implicaría que son conjugados a ejemplos algebraicos) y en particular, deberían ser transivos (pero incluso esto último, es un problema abierto).  El Teorema 1  fue probado en este artículo (creo yo que por primera vez, pero no se).

Primero, voy a recordar el Teorema de Indice de Lefschetz, pero esta vez con un poco más de detalle:

Para f: M \to M un homeomorfismo de una variedad M de dimensión d, definimos su numero de Lefshetz L(f) como

L(f) = \sum_{i=0}^d (-1)^i Traza(f_{\ast,i})

Donde f_{\ast,i}: H_i(M,\mathbb{R}) \to H_i(M, \mathbb{R}) es el mapa inducido por f en el i-ésimo grupo de homología.

Si los puntos fijos de f son aislados, podemos definir su indice (ver el post anterior) y obtenemos el siguiente resultado (para difeomorfismos, ver el Libro de Guillemin Pollack por una prueba).

Teorema (Lefschetz) Se cumple que L(f) = \sum_{x\in Fix(f)} ind_x(f).

Ahora, consideramos H_\ast(M) = \bigoplus_{i=0}^d H_i(M, \mathbb{R}) y los f_{\ast,i} nos inducen naturalmente una transformación lineal f_{\ast}: H_{\ast}(M) \to H_{\ast}(M). Recordar que cada uno de los f_{\ast,i} es invertible, de determinante uno y con coeficientes enteros (por ser f un homeomorfismo), tenemos por lo tanto que f_{\ast} lo es también, pero (evidentemente) es un poco más que eso.

Veamos por ejemplo como trabaja f_{\ast} para un homeomorfismo de la esfera S^d. Allí, sabemos que las homologías verifican que H_i(S^d) = 0 para i \notin \{0,d\} y es \mathbb{R} para $i=0,d$. Por tanto, por ser de coeficientes enteros, sabemos que f_{\ast,0}= \pm 1 y que f_{\ast,d}= \pm 1 (no nos importa demasiado en este estudio, pero también sabemos que necesariamente coinciden). Esto implica que todo homeomofismo f: S^d \to S^d verifica que |L(f)| \leq 2.

Decimos que una transformación lineal A: \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^k con coeficientes enteros y determinante $\pm 1$ es  parcialmente hiperbólica si posee valores propios de modulo mayor que 1.

Con argumentos “idénticos” a los del Lema 2 del post que venimos haciendo referencia, obtenemos el siguiente resultado (que por las consideraciones sobre la esfera, implica el Teorema 1 como corolario).

Teorema 2. Sea f: M \to M un difeomorfismo de Anosov en una variedad M de dimensión d. Entonces, la acción de f_{\ast}: H_{\ast}(M) \to H_{\ast}(M) es parcialmente hiperbólica.

Las consecuencias de este Teorema en la acción de f en la homología de la variedad implican al menos que varias clases de homotopía de difeomorfismos (por ejemplo la de la identidad) no pueden contener difeomorfismos de Anosov. También, ciertas variedades pueden ser vistas como no admitiendo dichos homeomorfismos (por ejemplo, todas aquellas donde los grupos H_{i}(M, \mathbb{R}) son de dimensión \leq 1, por poner un ejemplo más, S^d \times S^1).

Demostración: La prueba es muy similar asi que la haré brevemente. Primero, considerando un cubrimiento doble de M, obtenemos que podemos asumir que los fibrados estable e inestable del Anosov son orientables y considerando f^2 asumir que el diferencial de f preserva dichas orientaciones (este argumento utiliza fuertemente el hecho que los fibrados estan globalmente definidos, entonces solamente hay dos posibles orientaciones y por tanto f^2 las tiene que preservar).

Esto implica, como argumentamos en el post anterior , que todos los puntos fijos de f^n tienen igual indice de Lefschetz igual a \pm 1. En particular, obtenemos que si P_n(f) es la cantidad de puntos fijos de f^n entonces P_n(f) = |L(f^n)|.

Como sabemos que dicho numero crece exponencialmente, obtenemos que |L(f^n)| tiene que crecer exponencialmente, esto implica que existe al menos un i tal que Traza(f_{\ast,i}) \to \infty. Esto implica que tiene que tener un valor propio de modulo mayor que 1 concluyendo la prueba.

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