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Otro grupo de Lie que no es un grupo de matrices

In Grupos y geometría on Sábado 9, abril, 2011 at 1:08 pm

por Andrés Sambarino

Este post va en respuesta a la pregunta que hizo el lessa en este post. La idea es explicar, sin muchos detalles, porque el cubrimiento universal del grupo

\textrm{SL}(2,\mathbb R)=\{\textrm{matrices reales }2\times 2\textrm{ con }\det=1\}

no es un subgrupo del grupo matrices invertibles \textrm{GL}(n,\mathbb R).

El hecho fundamental es que todo morfismo \rho:\widetilde{\textrm{SL}(2,\mathbb R)}\to \textrm{GL}(n,\mathbb R) se factoriza a travez de \textrm{SL}(2,\mathbb R). Es decir:

Proposición. Sean \rho:\widetilde{\textrm{SL}(2,\mathbb R)}\to \textrm{GL}(n,\mathbb R) y \pi:\widetilde{\textrm{SL}(2,\mathbb R)}\to \textrm{SL}(2,\mathbb R) la proyección de cubrimiento, entonces existe un único \rho':\textrm{SL}(2,\mathbb R)\to\textrm{GL}(n,\mathbb R) tal que \rho=\rho'\circ \pi.

En particular el morfismo \rho no puede ser inyectivo.

El resto del artículo es para probar esta proposición. Hay dos ingredientes centrales: el primero dice que un morfismo entre álgebras de Lie se extiende a los respectivos grupos de Lie cuando el grupo de salida es simplemente conexo, y el segundo es que el grupo \textrm{SL}(2,\mathbb C) es simplemente conexo.

Teorema. Sean G y H dos grupos de Lie, y \mathfrak r:\mathfrak g\to\mathfrak h un morfismo entre las álgebras de Lie de G y H. Si G es simplemente conexo entonces existe un morfismo r:G\to H tal que la diferencial en la identidad es \mathfrak r.

La prueba de la proposición sería algo asi:

Consideramos un morfismo \rho:\widetilde{\textrm{SL}(2,\mathbb R)}\to\textrm{GL}(n,\mathbb R) y tomamos la diferencial en la identidad. Es fácil ver que el álgebra de Lie de un grupo y la de su cubrimiento universal son la misma, y entonces tenemos un morfismo

d\rho:\mathfrak{sl}(2,\mathbb R)\to\mathfrak{gl}(n,\mathbb R)

donde

\mathfrak{sl}(2,\mathbb R)=\{\textrm{matrices reales }2\times 2\textrm{ de traza cero}\}

y

\mathfrak{gl}(n,\mathbb R)=\{\textrm{matrices reales }n\times n\}.

Ahora consideramos el complexificado de d\rho, es decir consideramos d\rho:\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)\to\mathfrak{gl}(n,\mathbb C) definida como d\rho(A+iB)=d\rho(A)+id\rho(B).

Acá aparece el segundo hecho importante: \textrm{SL}(2,\mathbb C) es simplemente conexo. Aplicando entonces el teorema tenemos que d\rho es la diferencial en la identidad de un morfismo de grupos

\rho':\textrm{SL}(2,\mathbb C)\to\textrm{GL}(n,\mathbb C).

Es facil ver entonces que en este caso \rho' (\textrm{SL}(2,\mathbb R)) cae dentro de \textrm{GL}(n,\mathbb R) y entonces tenemos un morfismo

\rho':\textrm{SL}(2,\mathbb R)\to\textrm{GL}(n,\mathbb R)

cuya derivada en la identidad es exactamente d\rho. Así concluimos que \rho=\pi\circ\rho'.

  1. ¡Gracias!🙂

  2. Ah, de hecho el argumento muestra que el ùnico cubrimiento de SL(2,R) que es lineal es el trivial.

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