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Razon doble y geometría hiperbólica

In Grupos y geometría on Miércoles 22, febrero, 2012 at 11:12 am

por Andrés Sambarino

En este artículo me gustaría contar un poco de los cross ratio, o razon doble creo que se llama en español, a ver si le damos un poco de vida al coloquio Oleis que lo tenemos abandonado.

La razon doble entre cuatro puntos de \mathbb R\cup\{\infty\} se define como

{\displaystyle [x,y,z,t]=\frac{x-y}{x-t}\frac{z-t}{z-y}.}

Para acordarse de la formula lo mejor es pensar que el 1er numero ‘x‘ juega un rol similar al del tercero ‘z‘. Lo mismo pasa con el 2do y el 4to. Esto queda más claro con la relación siguiente

[x,y,z,t]=[z,t,x,y].                 (relación (1))

Lo primero que observamos es que el cross ratio de 4 puntos es invariante por transformaciones de Moebius (de coeficientes reales):

{\displaystyle x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d}\ a,b,c,d\in\mathbb R.}

La prueba de esto es una cuenta explícita que no vamos a hacer.

Dadas dos ternas de puntos (x,y,z) y (x_0,y_0,z_0) existe una y solo una transformación de Moebius que lleva (x,y,z) en (x_0,y_0,z_0) (en ese orden). Observamos ademas que el cross ratio [\infty,1,0,s]=s para calquier s.

Consideramos entonces \{x,y,z,t\} y la transformación de Moebius T que lleva (x,y,z) en (\infty,1,0), así, usando la formula [\infty,1,0,s]=s, concluimos que el cross ratio [x,y,z,t] es “donde cae t por la tranformación T.”

Como las tranformaciones de Moebius son el grupo de isometrias (directas) del plano hiperbólico, vamos a interpretar el cross ratio usando geometría hyperbólica.


Fijamos una orientación en \partial\mathbb H^2=\mathbb R\cup\{\infty\} y consideramos x,y,z,t puntos distintos \partial\mathbb H^2 ordenados de la siguiente manera x<y<t<z. Consideramos la geodésica \sigma en \mathbb H^2 que une x con z y las proyecciones ortogonales p_y y p_t de y y t sobre \sigma.

Observación. La distancia hiperbólica entre p_y y p_t es el logaritmo del cross ratio,

d(p_y,p_t)=\log [x,y,z,t].

Prueba. Como la distancia hyperbólica y el cross ratio son invariantes por transformaciones de Moebius, basta con verificar la iguadad para 4 puntos bien posicionados, de forma que sea facil hacer la cuenta. Entonces mandamos

(x,y,z)\mapsto (\infty,1,0)

por una Moebius, y t va a caer exactamente en [x,y,z,t].

La geodésica de x a z es es ahora la recta vertical por 0, el punto p_y es exactamente i y p_t cae en algún lugar de la recta vertical.

Como queda el dibujo anterior después de aplicar la Moebius.

Para terminar hay que recordar que la distancia hiperbólica entre i y a\cdot i (a>1) es \log a.

\square

Si consideramos otra posición relativa de los puntos \{x,y,z,t\} hay una relación similar, solo que hay que empezar a poner signos de menos adecuadamente.

Un detalle importante de esta interpretación es que la siguiente relación es clara:

[x,y,z,t]=[x,y,z,w][x,w,z,t].             (relación (2))

Podria decirse entonces que el flujo geodésico de \mathbb H^2 está “codificado” en el cross ratio. Consideramos la identificación del fibrado unitario T^1\mathbb H^2 en tripletas ordenadas de puntos de \partial\mathbb H^2 \{(x,y,z):x<y<z\} definida como sigue: para (p,v)\in T^1\mathbb H^2 consideramos v_{-\infty} el origen y v_{\infty} el final en \partial\mathbb H^2 de la geodésica por p con velocidad v y consideramos la geodésica ortogonal a ésta que pasa por p, esta geodésica tiene dos puntos de corte con \partial\mathbb H^2, elegimos y_{p,v} el que queda entre v_{-\infty} y v_{\infty} (según la orientación elegida).

Observación. La función

(p,v)\mapsto (v_{-\infty},y_{p,v},v_{\infty})

es un homeomorfismo.

Con esta identificación el flujo geodésico queda

\phi_s(p,v)\mapsto (v_{-\infty},w_s,v_{\infty})

donde w_s es tal que

[v_{-\infty},y_{p,v},v_{\infty},w_s]=e^s.

Cross ratio

\

Consideramos ahora una definición general de cross ratio. Sea X un espacio métrico compacto y

{X^4}^*=\{(x,y,z,t)\in X^4 tales que x\neq t e y\neq z\}

Definición. Un cross ratio es una función definida en {X^4}^* que verifica las siguientes propiedades

  • \mathbb B(x,y,z,t)=\mathbb B(z,t,x,y),
  • \mathbb B(x,y,z,t)=1 si y solo si x=z ó y=t,
  • \mathbb B(x,y,z,t)=0 si y solo si x=y ó z=t,
  • \mathbb B(x,y,z,t)=\mathbb B(x,y,z,w)\mathbb B(x,w,z,t),
  • \mathbb B(x,y,z,t)=\mathbb B(x,y,w,t)\mathbb B(w,y,z,t).

Obviamente el cross ratio que definimos al principio es un cross ratio con esta definición, observamos que la primer propiedad de \mathbb B es la misma que la relación (1) y la cuarta es la misma que la relación (2).

Una geometría hyperbólica sobre \Sigma induce un cross ratio \pi_1(\Sigma)-invariante.

\

Consideramos ahora una superficie hiperbólica compacta \Sigma y su cubrimiento universal \widetilde\Sigma. De algunos teoremas de geometría y topología (ver por ejemplo el capítulo 8 del doCarmo “geometria riemanniana”) se deduce que existe un morfismo

\rho:\pi_1(\Sigma)\to\textrm{PSL}(2,\mathbb R)

(recuerden que \textrm{PSL}(2,\mathbb R) es el grupo de isometrías de \mathbb H^2) y una isometría global f:\widetilde\Sigma\to\mathbb H^2 que conjuga las acciones de \pi_1(\Sigma) en \widetilde\Sigma y la de \rho(\pi_1(\Sigma)) en \mathbb H^2 i.e.

f(\gamma p)=\rho(\gamma) f(p) para todo p\in\widetilde\Sigma y \gamma\in\pi_1(\Sigma).

Recordamos que el borde de \widetilde\Sigma es identificado con el borde \partial\pi_1(\Sigma) (en el sentido de Gromov). La isometría f se extiende a los bordes como un homeomorfismo H\”older \overline f:\partial\pi_1(\Sigma)\to\partial\mathbb H^2=\mathbb R\cup\{\infty\} definimos entonces \mathbb B:{(\partial\pi_1(\Sigma))^4}^*\to\mathbb R como

\mathbb B(x,y,z,t)=[\overline f(x),\overline f(y),\overline f(z),\overline f(t)]

donde [\cdot,\cdot,\cdot,\cdot] es el cross ratio usual definido al principio.

Obtenemos entonces el siguiente corolario:

Corolario. Una geometría hiperbólica induce un cross ratio en \partial\pi_1(\Sigma) invariante por la acción de \pi_1(\Sigma) en su borde.

La pregunta que surge entonces es

¿cuando un cross ratio \pi_1(\Sigma)-invariante en \partial\pi_1(\Sigma) proviene de una geometría hyperbólica en \Sigma?

La respuesta es la siguiente proposición de Labourie, resulta que basta con que el cross ratio verifique una fórmula:

Proposición[Labourie]. Sea \mathbb B un cross ratio \pi_1(\Sigma)-invariante en \partial\pi_1(\Sigma), si \mathbb B verifica la relación

\mathbb B(x,y,z,t)+\mathbb B(t,y,z,x)=1

(los del medio quedan iguales, y se intercambian el primero con el último) entonces existe \varphi:\partial\pi_1(\Sigma)\to\partial\mathbb H^2 tal que

\mathbb B(x,y,z,t)=[\varphi(x),\varphi(y),\varphi(z),\varphi(t)].

Idea de la prueba. Hay que hacer un monton de cuentas, pero \varphi se define como sigue: Fijamos 3 puntos \{a,b,c\} de \partial\pi_1(\Sigma) y definimos \varphi:\partial\pi_1(\Sigma)\to\mathbb R\cup\{\infty\} como

\varphi(x):=\mathbb B(x,a,b,c)

con la convención \mathbb B(b,a,b,c)=\infty.

\square

Un ultimo dato interesante es que hay cross ratios \pi_1(\Sigma) invariantes en \partial\pi_1(\Sigma) que no vienen de una geometría hiperbólica, pero esto ya da para hacer otro post.

  1. ¡Está buenaso sambita! ¡Y buenos dibujos!… me suena que debería ir e^s en lugar de s cuando explicás como ver el flujo geodésico luego de la identificación. ¿Puede ser?… en fin. Muy bueno el artículo.

  2. Tal cual lessa, ahora lo cambio. Salute!

  3. […] podemos definir una distancia en usando la razón doble. Recordar que la razón doble  (ver este post) entre 4 puntos de la recta se define […]

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