Los seguidores de Manolo

Cuando un flujo es una suspensión

In Dinámica topológica, Sistemas Dinámicos on Viernes 11, mayo, 2012 at 8:54 am

por Andrés  Sambarino

Dado un espacio métrico compacto X y un flujo \phi_t:X\to X es natural preguntarse si el flujo tiene subconjuntos donde el mapa de primer retorno es contínuo. Esta idea de Poincaré ayuda a entender la dinámica de un flujo estudiando dinámica discreta. En general, cerca de una órbita periódica hay secciones transversales en el siguiente sentido, dado V “transversal” a la órbita periódica en p, existe U (también transversal y con p\in V) tal que el mapa de primer retorno f:U\to V está bien definido.

El objetivo de este texto es entonces dar una caracterización de Schwartzman, del artículo Asymptotic cycles del ’56, para decidir si un flujo admite una sección transversal global, es decir, si el flujo es una suspensión. La idea de Schwartzman es ver en qué sentido dan vueltas las órbitas y, si todas lo hacen en el mismo, el flujo es necesariamente una suspensión.

Para evitar confusión nos referimos a una sección global como un subconjunto compacto K \subset X tal que el mapa K\times \mathbb R\to X dado por

(x,t)\mapsto \phi_t(x)

es sobreyectivo y un homeomorfismo local.

La idea entonces es considerar una función f:X\to S^1 y un segmento de órbita de x a \phi_T(x) parametrizado con el [0,1], \alpha:[0,1]\to X donde \alpha(t)=\phi_{tT}(x). Cuando componemos obtenemos una función de [0,1]\to S^1 y nos interesa medir el número de vueltas que esta curva da alrededor de 0, que notamos

\Delta arg_{x,\phi_Tx} \alpha\circ f.

Este numerillo puede definirse de varias maneras, si la curva \alpha es cerrada entonces podemos definir el número de vueltas como el grado de Brower como mapa del círculo.  Otra forma es considerar la forma de ángulo \theta=xdy-ydx e integrar la forma sobre la curva. Usando esta última mostramos una forma mas “visual” de calcular la variación de ángulo.

Lema. Sea g:[0,1]\to S^1 derivable, entonces el número de vueltas de g alrededor del 0 es igual a

{\displaystyle \frac1{2\pi i}\int_0^1\frac{g'(t)}{g(t)}dt}

Demstración. Consideramos la 1-forma sobre el círculo \omega =(x-iy)(dx+idy). Si pensamos a g como u+iv entonces

{\displaystyle \int_g \omega=\int_0^1g'(t)\overline{g(t)}dt}

Como g(t)\in S^1 para todo t, tenemos \overline g(t)=g(t)^{-1} y así \int_g \omega=\int_0^1\frac{g'(t)}{g(t)}dt. Por otro lado,

\omega=xdx+ydy+i\theta

y xdx+ydy es una forma exacta (es el gradiente de (x,y)\mapsto x+y), tenemos entonces

{\displaystyle \frac1{2\pi i}\int_0^1\frac{g'(t)}{g(t)}dt=\frac1{2\pi i}\int_g \omega=\frac1{2\pi}\int_g\theta}

que es el número de vueltas.

\square

Decimos que una función f:X\to\mathbb R es C^1 en la dirección del flujo \phi_t si la función

{\displaystyle f'(x):=\left.\frac{\partial}{\partial t}\right|_{t=0}f(\phi_t(x))}

es contínua.

Conseguir funciones C^1 en la dirección del flujo es fácil, dada f:X\to \mathbb R contínua la función

{\displaystyle f_k(x)= \frac{1}{k}\int_0^k f(\phi_t(x))dt}

es C^1 en la dirección de \phi_t, para cualquier k>0. Más aún, la integral de f_k en cualquier órbita periódica de \phi_t coincide con al integral de f en esa órbita periódica.

El resultado de Schwartzman es el siguiente:

 Proposición[Schwartzman]. Si existe f:X\to S^1 tal que f' no se anula nunca, entonces \phi_t admite una sección global.

 La idea es que si f'\neq 0 las orbitas de \phi_t giran todas en la dirección que ve f.

Demostración. Elegimos un punto p cualquiera de S^1, la sección global es K=f^{-1}(\{p\}), la condición en f' implica que f(\phi_t(x)) eventualmente vale p, o sea que la función \varphi:K\times\mathbb R\to X dada por

\varphi(x,t)= \phi_t(x)

es sobreyectiva.

Para terminar hay que mostrar que existe \varepsilon tal que la restricción de \varphi a K\times[-\varepsilon,\varepsilon] es inyectiva. Supongamos que no, es decir que existen t_n\to 0, s_n\to 0 y x_n,y_n\in K tales que \phi_{t_n}(x_n)=\phi_{s_n}(y_n) para todo n.

Equivalentemente podemos decir que existe t_n\to 0 y x_n\in K tales que \phi_{t_n}(x_n)\in K para todo n.

Tomando un límite x_n\to x se ve que, como f es constante en K (K=f^{-1}(\{p\})), la derivada f'(x)=0.

 \square 

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: