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Regularidad de funciones armónicas y Teorema de Liouville

In Análisis Real y Complejo on Domingo 30, diciembre, 2012 at 10:41 am

por Pablo Lessa

Motivado por esta pregunta en mathoverflow voy a explorar un camino hacia la demostración del Teorema de Liouville (toda función armónica y acotada en \mathbb{R}^d es constante) y la regularidad de funciones armónicas (toda función armónica en \mathbb{R}^d es de clase C^{\infty}).

El camino se basa en usar la propiedad del valor medio como definición de función armónica.  A partir de ahí podemos estimar la diferencia del valor de la función en dos puntos a partir de la differencia simétrica de dos bolas en \mathbb{R}^d.

El Teorema de Liouville sigue de la observación que el volúmen de la differencia simétrica es pequeña con respecto al volúmen de cada bola si el radio es grande.  La regularidad viene de la observación que para un radio fijo dicho volúmen está acotado por una función lineal de la distancia entre los centros cuando esta distancia es pequeña.

Técnicamente esto nos permite mostrar que las funciones armónicas son Lipschitz.  Usamos el Teorema de Rademacher y la observación de que las derivadas parciales también son armónicas para concluir que toda función armónica es de clase C^\infty.

Para empezar fijemos para lo que sigue una dimensión d y denotamos por B_r(x) la bola abierta de radio r centrada en un punto x \in \mathbb{R}^d.  Usamos \text{vol}(A) para el volumen de un Boreliano A \subset \mathbb{R}^d y todas las integrales que vamos a considerar serán con respecto a la medida \text{vol}.

Definición (Función armónica): Decimos que una función f:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R} es armónica si es Borel medible, localmente integrable y cumple:

  1. f(x) = \frac{1}{\text{vol}(B_r(x))}\int_{B_r(x)}f(y)\mathrm{d}y

para todo x,r.

A partir de la definición anterior el teorema de Liouville sigue immediatamente:

Teorema de Liouville:  Si f:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R} es armónica y acotada entonces es constante.

Demostración: Tomemos dos puntos x,y \in \mathbb{R}^d y fijemos C = \sup\lbrace |f(z)|: z \in \mathbb{R}^d\rbrace.  Usando la definición de función armónica obtenemos:

|f(x)-f(y)| = \left|\frac{1}{\text{vol}(B_r(x))}\int_{B_r(x)}f(z)\mathrm{d}z - \frac{1}{\text{vol}(B_r(y))}\int_{B_r(y)}f(z)\mathrm{d}z\right| \le C\frac{\text{vol}(B_r(x) \Delta B_r(y))}{\text{vol}(B_r(0))}

Donde B_r(x)\Delta B_r(y) es la differencia simétrica entre las bolas de radio r centradas en x e y respectivamente.  La observación es que el término de la derecha tiende a 0 cuando r tiende a +\infty y se concluye que f(x) = f(y) como se buscaba.\Box

Seguimos nuestro plan con la primera propiedad de regularidad.

Lema: Si f:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R} es armónica entonces es continua.

Demostración: Fijemos  x \in \mathbb{R}^d y notemos que por hipótesis la integral de |f| en B_{2r}(x) es finita.  Con esta observación el teorema de convergencia dominada implica

\lim_{h \to 0}f(x+h) = \lim_{h \to 0}\int_{B_r(x+h)}f(y)\mathrm{d}y = \int_{B_r(x)}f(y)\mathrm{d}y = f(x)

lo cual muestra que f es continua.\Box

A partir de la continuidad obtenemos que las funciones armónicas son localmente acotadas.  Por lo tanto la estimación que se realizó en la prueba del Teorema de Liouville es válida localmente.  Es decir fijando

C = \sup\lbrace |f(z)|: |z-x| \le |x-y|+r\rbrace

se tiene

|f(x)-f(y)| = \left|\frac{1}{\text{vol}(B_r(x))}\int_{B_r(x)}f(z)\mathrm{d}z - \frac{1}{\text{vol}(B_r(y))}\int_{B_r(y)}f(z)\mathrm{d}z\right| \le C\frac{\text{vol}(B_r(x) \Delta B_r(y))}{\text{vol}(B_r(0))}

Esto permite demostrar lo siguiente:

Lema: Si f:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R} es armónica entonces es localmente Lipschitz.

Demostración:  Si x,y \in \mathbb{R}^d están a distancia menor que r entonces la intersección B_r(x) \cap B_r(y) contiene una bola de radio r - |x-y|/2.  Esto es suficiente para demostrar que

\text{vol}(B_r(x) \Delta B_r(y)) \le C' |x-y|

para cierta constante C' dependiendo de r.  El lema se deduce de la estimación mencionada anteriormente.\Box

Concluimos  nuestro plan con el siguiente teorema.

Teorema: Si f:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R} es armónica entonces es de clase C^\infty.

Demostración: Fijemos v \in \mathbb{R}^d.  El Teorema de Rademacher implica que el límite

g(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + hv)-f(x)}{h}

existe para casi todo x \in \mathbb{R}^d.

Además por el lema anterior los cocientes para cada h fijo están acotados en cada compacto por la constante de Lipschitz local.  Esto permite aplicar convergencia dominada para obtener que g es armónica como sigue

g(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + hv)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \int_{B_r(x)}\frac{f(y+hv)-f(y)}{h}\mathrm{d}y = \int_{B_r(x)}g(y)\mathrm{d}y.

Inductivamente se obtiene que f tiene derivadas parciales continuas (armónicas) de todos los ordenes.\Box

  1. A full animal!!

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