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Medidas de Gibbs

In Física, Sistemas Dinámicos on Sábado 27, julio, 2013 at 2:42 pm

por Alejandro Passeggi

La idea en este documento es trabajar la motivación de lo que se conoce como medida de Gibbs. Estas son medidas invariantes para sub-shift mixing de tipo finito, que estan asociadas a un potencial (función del espacio a los reales). Las mismas gozan de propiedades interesantes, y son muy útiles en diferentes contextos de sistemas dinámicos, ya que para ciertos potenciales (como el potencial geométrico) son consideradas como las medidas naturales del sistema en cuestión.

Consideramos un sistema termodinámico cerrado X que no intercambia materia, y que esta en contacto con una fuente de temperatura T,valor que se mantiene invariante. Asumimos que el sistema tiene un número fijo de partículas y que la energía total que cada particula puede asumir es un elemento del conjunto \{E_0,\dots,E_{m-1}\}.

Definimos las cantidades p_i,i=0\dots m-1 dadas por la proporción de partículas que tienen energía E_i,i=0\dots m-1 cuando el sistema está en equillibrio termodinámico. Las leyes de la termodinámica predicen que las cantidades p_0,\dots,p_{m-1} tenderan a maximizar la expresión conocida como energía libre de Helmotz

S-\beta E

donde

  • S=\sum_{i=0}^{m-1}-p_i\log p_i, expresión conocida como entropía,
  • E=\sum_{i=0}^{m-1}p_iE_i, que nos da la energía total del sistema,
  • \beta=1/kT, donde k es conocida como la constante de Boltzman.

El siguiente lema de cálculo nos permite obtener explicitamente los valores esperados de p_1,\dots,p_{m-1}.

Lema de cálculo.Sea F:\mathbb{R}^{m-1}\to\mathbb{R} definida como

F(x_0,\dots,x_{m-1})=\sum_{i=0}^{m-1}-x_i\log x_i+\sum_{i=0}^{m-1}  x_ia_i

donde a_0,\dots,a_{m-1} son constantes. Entonces F tiene un único maximo global en

{\displaystyle p_i=\frac{\exp^{-\beta E_i}}{\sum_{j=0}^{m-1}\exp^{-\beta E_j}},\  i=1,\dots,m-1}

y M=\log\left(\sum_{i=0}^{m-1}\exp^{-\beta E_j}\right) es el valor en dicho máximo.

Entonces tenemos que el valor esperado de p_i para nuestro sistema físico será

{\displaystyle \frac{\exp^{-\beta E_i}}{\sum_{j=0}^{m-1}\exp^{-\beta E_j}}.}

Esto induce una medida definida en el espacio de los posibles estados del sistema (descritos por cada particula y su energía) que se conoce como la medida de Gibbs.

Intentaremos ahora generalizar esta medida para un sistema de infinitas partículas en correspondencia biunívoca con los naturales, donde cada partícula puede tomar finitos estados \{0,\dots,m-1\}. El espacio de estados para este sistema se modela naturalmente como \Sigma=\{0,\dots m-1\}^{\mathbb{N}}. Asumieremos además que tenemos una función

\phi^*:\Sigma\to \mathbb{R}

de forma que \phi^*(\underline{x}) nos da el valor de la energía necesaria para colocar la particula 0 en la posición x_0\in\{0,\dots,m-1\} para la
configuración \underline{x}.

Entonces podemos estimar la energía asociada al estado \underline{x} como

\sum_{i=0}^{m-1}\phi^*(\sigma^i(\underline{x})),

donde contra mayor m mas fina la aproximación.

Se desprende de esto, que una posible generalización de la medida de Gibbs, podría ser estimada por lo siguiente: si \mu es la medida de Gibbs en $\Sigma$, entonces para un \underline{x} fijo en \Sigma

{\displaystyle \mu(\{\underline{y}\in\Sigma:y_i=x_i,i=0,\dots,m-1\}) \sim  \frac{\exp^{-\beta\sum_{i=0}^{m-1}\phi^*(\sigma^i(\underline{x}))}}  {\underset{a_0\dots a_{m-1}}{\sum}\exp^{-\beta\sum_{j=0}^{m-1}\phi^*(\sigma^j(\underline{x}_{a_0\dots a_{m-1}}))}}}

donde los elementos a_0\dots a_{m-1} son las posibles sub-palabras finitas de tamaño m, y \underline{x}_{a_0\dots a_{m-1}} es algún elemento del cilindro C_{a_0\dots a_{m-1}}. La noción de proximidad entre estas expresiones utilizada mas adelante, es que su cociente esté contenido en un intervalo compacto I\subset \mathbb{R}^+ para todo m\in\mathbb{N},\underline{x}\in\Sigma.

Queremos motivar la definicón de medida de Gibbs a partir de lo anterior, y luego motivar el principio variacional que verifican dichas medidas. Consideremos la expresión

{\displaystyle \frac{\exp^{-\beta\sum_{i=0}^{m-1}\phi^*(\sigma^i(\underline{x}))}}{\sum_{j=0}^{m-1}  \exp^{-\beta\sum_{j=0}^{m-1}\phi^*(\sigma^j(\underline{x}))}}.}                   (1)

De aquí en mas denotamos \phi=-\beta\phi^*. El primer paso es buscar una expresión para el dividendo que sea independiente de la elección de \underline{x}_{a_0\dots a_{m-1}}. Para esto introducimos la siguiente notación:

S_m\phi(\underline{x}):=\sum_{i=0}^{m-1}\phi(\sigma^i(\underline{x})),

y

\underset{a_0\dots a_{m-1}}{\sup S_m\phi}:=\sup\{S_m\phi(\underline{x}):\underline{x}\in C_{a_0\dots a_{m-1}}\}.

Sustituimos entonces el cociente de (1) por la expresión

Z_m(\phi):=\underset{a_0\dots a_{m-1}}{\sum}\exp^{\underset{a_0\dots a_{m-1}}{\sup S_m\phi}}

la cual solo depende de m. Mas aún, debido al siguiente lema de cálculo:

Lema. Sea (a_m)_{m\in\mathbb{N}} una sucesión de numeros reales, tal que \inf_m\frac{a_m}{m}>-\infty y a_{n+m}\leq a_n+a_m para todo n,m\in\mathbb{N}. Entonces \lim_n\frac{a_m}{m}=\inf_m\frac{a_m}{m}.

tenemos la existencia de un número real

P=\lim_m\frac{1}{m}\log\left(Z_m(\phi)\right)

(basta chequear la sub-aditividad de \log\left(Z_m(\phi)\right)). Esto nos permite la siguiente aproximación:

Z_m(\phi)\sim \exp^{mp}

en el sentido que hemos precisado anteriormente. El número P es conocido como la presión topológica de \phi, P(\phi).

LLegamos así a la definición de Medida de Gibbs: Consideremos un potencial \phi..Decimos que una probabilidad \sigma-invariante en \Sigma es una medida de Gibbs si existen P\in\mathbb{R} y c_1<c_2 constantes positivas tales que:

{\displaystyle \frac{\mu\{\underline{y}\in\Sigma:\underline{y}_i=\underline{x}_i,\ i=0\dots m-1\}}{\exp^{-mP+S_m\phi(\underline{x})}}\in[c_1,c_2]}

para todos m\in\mathbb{N} y \underline{x}\in\Sigma.

Dado el desarrollo anterior, es de esperar que las medidas de Gibbs en \Sigma verifiquen una suerte de principio variacional. Para esto hay que encontrar la generalización correcta de S (entropía), E (energía total) y M (valor máximo). Fijamos una medida de Gibbs \mu para el potencial \phi y observamos lo siguiente:

  • vimos que la energía debida a una configuración \underline{x}\in\Sigma
    se podía estimar como S_m\phi(\underline{x}). Por lo tanto la energía total
    se podría estimar por E_m:=\int S_m\phi d\mu.
  • Por su parte, una posible estimación para a entropía S sería
    S_m=\underset{a_0\dots a_{m-1}}{\sum}-\mu(C_{a_0\dots a_{m-1}})\log(\mu(C_{a_0\dots a_{m-1}})).
  • Finalmente, una posible estimación para M estaría dada por M_m:=\log\left(Z_m(\phi)\right).

Desafortunadamente las secuencias E_m,S_m y M_m pueden ser divergentes, lo cual nos negaría una suerte de principio variacional. Para solucionar este inconveniente, se observa lo siguiente:

  • la secuencia e_m=\frac{E_m}{m} es constante e igual a \int \phi d\mu, dado que \mu es \sigma-invariante.
  • Haciendo uso del lema se puede probar que s_m:=\frac{S_m}{m} es convergente. Denotamos su limite como s(\mu).
  • Como vimos, \frac{M_m}{m} converge a la presión topológica P.

Entonces se espera que la medida de Gibbs \mu verifique el siguiente principio variacional: \mu maximiza la expresión

s(\nu)+\int \phi d\nu\ ,\ \nu\ \mbox{medida }\sigma-\mbox{invariante},

y el valor máximo para dicha expresión está dado por P(\phi).
La prueba formal de la existencia de medidas de Gibbs, unicidad de las mismas, y principio variacional se puede encontrar en el primer capítulo del libro de R. Bowen “Ergodic Theory of Axioma A diffeomorphisms”.

  1. ¡Tremendo artículo! Me gustó el enfoque de empezar con finitas partículas. Se entiende re bien. ¿Tenés referencia (tipo wikipedia o algo) para la motivación física? Por comentar una boludés: el lema subaditivo vale aunque el \inf a_m/m = -\infty. ¿Estás usando estas cosas para tus homeos de superficies?

  2. Muchas gracias Pablito!!! Esta es la motivaci’on que se de en general, solo que yo la trate de completar para entenderla un poco mas. Por ejemplo el asunto del ppio variacional no lo hab’ia visto motivado desde este enfoque. La referencia para la motivaci’on f’isica que est’a en el Bowen es el libro de Ruelle de Mec’anica estad’istica y Lanford que se llama Entropy and eq. states in classical statistical mechanics. En la teor’ia de rotaci’on esta teor’ia fue usada por Kwapisz para ecnontrar una relaci’on entre la geo. del conjunto de rotac’on (en $T^2$) y la entrop’ia del sistema. De todos modos yo la estoy estudiando xq el d’ia de la defensa tengo un examen en este asunto! Abrazo!!!

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