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Matemática en un minuto: PageRank

In Uncategorized on Domingo 22, septiembre, 2013 at 5:44 pm

Junto con Elbio Castro (dibujante) creamos hace tiempo este video que explica la idea detrás de PageRank.  Dado que Manolo Oleis ahora tiene cuenta Google me parece un buen momento para redifundirlo.

Aprovecho también para plantear la pregunta a los amigos de Coloquio Oleis: ¿Qué otros temas podría ser interesante tratar en videos similares a este?

¡Salute!

4to. Coloquio Uruguayo de Matemática.

In Uncategorized on Sábado 14, septiembre, 2013 at 4:48 pm

4to. Coloquio Uruguayo de Matemática.

Está abierta la web del 4to. Coloquio Uruguayo de Matemática a realizarse los días 18, 19 y 20 de diciembre en el aulario del Faro (Facultad de Ingeniería).  El evento es abierto a todo el mundo y no tiene costo. Son todos bienvenidos al evento y también a hojear la web del Coloquio por más información. 

Conjuntos minimales de difeomorfismos del círculo

In Sistemas Dinámicos on Viernes 13, septiembre, 2013 at 12:38 am

por Rafael Potrie

La idea de este post es entender un par de resultados que me contó Aldo Portela el otro día.  Más información se puede encontrar tanto en su artículo como en este libro de de Melo-van Strien que es un clásico de la dinámica unidimensional.

El objetivo es estudiar difeomorfismos del círculo S^1.  Más precisamente, nos interesaremos por estudiar aquellos difeomorfismos cuyo número de rotación es irracional. Es bien sábido que estos poseen un único conjunto minimal, además, se sabe que dicho conjunto es, o bien todo el círculo (en cuyo caso el difeomorfismo es conjugado a una rotación irracional) o bien un conjunto de Cantor (compacto, totalmente disconexo y sin puntos aislados). El teorema de Denjoy afirma que si el difeomorfismo es de clase C^2 (es decir, su derivada segunda es continua) entonces siempre se da el primer caso.

Por otro lado, es relativamente sencillo demostrar que para cualquier conjunto de Cantor K \subset S^1 y número de rotación \alpha irracional, existe un homeomorfismo f: S^1 \to S^1 cuyo número de rotación es \alpha y para el cual K es el único conjunto minimal de la dinámica. También es posible, aunque un poco más trabajoso, construir ejemplos de difeomorfismos C^1 (e incluso C^{1+\theta} con \theta < 1) que poseen conjuntos de Cantor minimales, sin embargo el conjunto de Cantor no puede ser prescripto apriori, la construcción más conocida requiere condiciones en las longitudes de los intervalos en el complemento. La pregunta que nos proponemos en este post es: ¿Qué conjuntos de Cantor pueden ser el único minimal para un difeomorfismo C^1 del círculo con número de rotación irracional?.

Referimos al lector al libro de de Melo y van Strien (o casi cualquier libro introductorio de sistemas dinámicos) para
una introducción tanto al concepto de número de rotación como a un raconto de esta linda teoría que no reproduciremos aquí
(al menos por ahora).

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Existencia de conjuntos minimales y el Lema de Zorn.

In Dinámica topológica on Sábado 7, septiembre, 2013 at 5:39 pm

Por Rafael Potrie

Este post tiene dos propósitos. El primero es probar una nueva manera de escribir posts a traves del GmailTex. El otro, es aprovechar que iba a hacer eso para pensar una prueba de algo que siempre supe que era posible pero nunca había pensado la prueba.

El objetivo es el siguiente: Si f: X \to X es un homeomorfismo de un espacio métrico compacto, al estudiar la dinámica de f nos interesamos usualmente por entender sus conjuntos minimales. Esto se debe principalmente a dos cosas, por un lado, la existencia de conjuntos minimales implica que existen puntos recurrentes lo cual siempre es bienvenido cuando se estudia el comportamiento asintótico de un sistema. Por otro lado, se puede pensar en los minimales como “piezas básicas” en las cuales el sistema dinámico se va a descomponer (aunque esto último no siempre es así, ni tan simple como sólo decirlo).
Recuerdo que un conjunto minimal para f es un compacto f -invariante K \subset X no vacío con la propiedad de que todo compacto f– invariante K' \subset K no vacío coincide con K.
Los puntos fijos o las órbitas periódicas son claros ejemplos de conjuntos minimales, pero como es bien sabido, hay dinámicas que no tienen órbitas periódicas (como las rotaciones irracionales en el círculo). Sin embargo, veremos que todo sistema dinámico posee conjuntos minimales.