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Existencia de conjuntos minimales y el Lema de Zorn.

In Dinámica topológica on Sábado 7, septiembre, 2013 at 5:39 pm

Por Rafael Potrie

Este post tiene dos propósitos. El primero es probar una nueva manera de escribir posts a traves del GmailTex. El otro, es aprovechar que iba a hacer eso para pensar una prueba de algo que siempre supe que era posible pero nunca había pensado la prueba.

El objetivo es el siguiente: Si f: X \to X es un homeomorfismo de un espacio métrico compacto, al estudiar la dinámica de f nos interesamos usualmente por entender sus conjuntos minimales. Esto se debe principalmente a dos cosas, por un lado, la existencia de conjuntos minimales implica que existen puntos recurrentes lo cual siempre es bienvenido cuando se estudia el comportamiento asintótico de un sistema. Por otro lado, se puede pensar en los minimales como “piezas básicas” en las cuales el sistema dinámico se va a descomponer (aunque esto último no siempre es así, ni tan simple como sólo decirlo).
Recuerdo que un conjunto minimal para f es un compacto f -invariante K \subset X no vacío con la propiedad de que todo compacto f– invariante K' \subset K no vacío coincide con K.
Los puntos fijos o las órbitas periódicas son claros ejemplos de conjuntos minimales, pero como es bien sabido, hay dinámicas que no tienen órbitas periódicas (como las rotaciones irracionales en el círculo). Sin embargo, veremos que todo sistema dinámico posee conjuntos minimales.
Como el conjunto límite de un punto x \in K por la dinámica (es decir, el conjunto de puntos de acumulación de la órbita \{f^n(x)\}_{n\geq 0} de x) es un conjunto cerrado, invariante y no vacío, se deduce que todo punto x \in K  tiene que ser recurrente (es decir, existe n_j \to \infty tal que f^{n_j}(x) \to x).
Una forma fácil de ver que todo sistema dinámico f: X \to X tiene conjuntos minimales es la siguiente: Consideramos \mathcal{F} como el conjunto de todos los compactos no vacíos de X que son f-invariantes. Claramente la familia \mathcal{F} es no vacía ya que X \in \mathcal{F}. Por otro lado, como la intersección de compactos no vacíos decrecientes es un compacto no vacío y la intersección de conjuntos f-invariantes es f-invariante, tenemos que \mathcal{F} tiene elementos minimales gracias al Lema de Zorn. No es difícil chequear que un tal elemento es minimal para el sistema dinámico con la definición que dimos encima.
El objetivo de este post en realidad no es el de dar la prueba que dimos encima, sino de dar una prueba que no dependa en absoluto del axioma de elección (o Lema de Zorn). La prueba es prácticamente igual de sencilla que utilizando el Lema de Zorn (hasta se puede argumentar que es la misma prueba).
Antes de escribirla, introducimos una definición útil:
Dado K \subset X compacto f-invariante y U \subset X abierto. Consideramos O(U)= \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} f^n(U) la órbita de U.  Definimos K_U como siendo:  K_U = K \setminus O(U) si O(U) no contiene a K y como siendo K_U=K en caso contrario. Tenemos que K_U es siempre un compacto f-invariante contenido en K y no vacío si K no lo es.
Ahora, consideramos \{U_n\}_{n\geq 1} una base numerable de la topología de X. Definimos inductivamente los conjuntos X_n como siendo X_0=X y tal que X_n = (X_{n-1})_{U_n}.

Obtenemos que X_n \subset X_{n-1} para todo n son compactos f-invariantes no vacíos. Podemos entonces considerar M= \bigcup_{n\geq 1} X_n que será un conjunto compacto f-invariante y no vacío.
Afirmamos que M es un conjunto minimal, de hecho, si no lo fuese, existiría N \subset M compacto f-invariante y no vacío tal que N \neq M. Pero en ese caso, existiría un abierto U_k en la base de abiertos tal que U_k \cap M \neq \emptyset pero U_k \cap N= \emptyset.  Esto implicaría que X_k \cap M esta estríctamente contenido en M lo cual es absurdo por la definición de M. Esto concluye la prueba.
  1. […] difeomorfismos cuyo número de rotación es irracional. Es bien sábido que estos poseen un único conjunto minimal, además, se sabe que dicho conjunto es, o bien todo el círculo (en cuyo caso el difeomorfismo es […]

  2. Un error de tipeo: Me parece que M debería ser la interseción de los X_n. ¡Salute!

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