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Conjuntos minimales de difeomorfismos del círculo

In Sistemas Dinámicos on Viernes 13, septiembre, 2013 at 12:38 am

por Rafael Potrie

La idea de este post es entender un par de resultados que me contó Aldo Portela el otro día.  Más información se puede encontrar tanto en su artículo como en este libro de de Melo-van Strien que es un clásico de la dinámica unidimensional.

El objetivo es estudiar difeomorfismos del círculo S^1.  Más precisamente, nos interesaremos por estudiar aquellos difeomorfismos cuyo número de rotación es irracional. Es bien sábido que estos poseen un único conjunto minimal, además, se sabe que dicho conjunto es, o bien todo el círculo (en cuyo caso el difeomorfismo es conjugado a una rotación irracional) o bien un conjunto de Cantor (compacto, totalmente disconexo y sin puntos aislados). El teorema de Denjoy afirma que si el difeomorfismo es de clase C^2 (es decir, su derivada segunda es continua) entonces siempre se da el primer caso.

Por otro lado, es relativamente sencillo demostrar que para cualquier conjunto de Cantor K \subset S^1 y número de rotación \alpha irracional, existe un homeomorfismo f: S^1 \to S^1 cuyo número de rotación es \alpha y para el cual K es el único conjunto minimal de la dinámica. También es posible, aunque un poco más trabajoso, construir ejemplos de difeomorfismos C^1 (e incluso C^{1+\theta} con \theta < 1) que poseen conjuntos de Cantor minimales, sin embargo el conjunto de Cantor no puede ser prescripto apriori, la construcción más conocida requiere condiciones en las longitudes de los intervalos en el complemento. La pregunta que nos proponemos en este post es: ¿Qué conjuntos de Cantor pueden ser el único minimal para un difeomorfismo C^1 del círculo con número de rotación irracional?.

Referimos al lector al libro de de Melo y van Strien (o casi cualquier libro introductorio de sistemas dinámicos) para
una introducción tanto al concepto de número de rotación como a un raconto de esta linda teoría que no reproduciremos aquí
(al menos por ahora).

Introduzcamos alguna notación: Dado K \subset S^1 escribimos su complemento K^c como una unión \bigcup_{i \in \mathbb{N}} I_i  de intervalos abiertos. Llamamos espectro de K y lo denotamos como sp(K) al conjunto de números positivos que consiste en las longitudes de todos los intevalos I_i. La longitud de un intervalo I será denotada por |I|. Es bien posible que haya valores repetidos.

Notaremos sp(K)= \{ \lambda_j \}_{j \in \mathbb{N}} donde ordenamos los valores de \lambda_j de forma tal que \lambda_j > \lambda_{j+1}.

Antes de hacer frente directamente a la pregunta en cuestión, recordemos brevemente como es la idea para construir ejemplos de difeomorfismos C^1 admitiendo un conjunto de Cantor minimal (mejor conocidos como “Contraejemplos de Denjoy”).

La primera observación, que no depende de la construcción de ejemplos en si es que \sum_{i=0}^\infty \lambda_i \leq 1. Esto refleja simplemente que  la longitud del círculo es 1, y por lo tanto la suma de longitudes de intervalos disjuntos no puede superar su longitud total. Por otro lado,  remarco para no generar confusión con la notación que no es cierto (en general) que la medida (de Lebesgue) de K sea igual a 1- (\sum_{i=0}^\infty \lambda_i) debido a las posibles repeticiones en valores de longitudes. Lo que si es cierto es que si  \sum_{i=0}^\infty \lambda_i = 1 entonces la medida de K es 0.

Por otro lado, digamos que queremos hacer un ejemplo de difeomorfismo C^1 que deje K invariante y permute los intervalos I_i formando una combinatoria irracional (lo único que nos va a interesar es que ningún I_i vuelve sobre si mismo al iterarlo). Como los intervalos  no se pueden repetir, tenemos que:

Lema 1 Dado un intervalo I en K^c se cumple que tanto |f^n(I)| como |f^{-n}(I)| tienden a cero cuando n \to +\infty.

Como la longitud de los intervalos decrece, una forma natural de construir un contraejemplo de Denjoy es pensar que la derivada será igual a 1 en el Cantor K y de esa manera se fuerza a que a medida que los intervalos se hacen más pequeños, la derivada en los intervalos sea similar a 1. Esto da una condición del tipo:

\lim_n \frac{|f^{n+1}(I)|}{|f^n(I)|} = 1

Que en términos del espectro se expresaría de la siguiente forma:

Conjetura (McDuff) Si K es un conjunto de Cantor minimal para un difeomorfismo C^1 del círculo y sp(K)= \{\lambda_n \}_{n\in \mathbb{N}} entonces se cumple que \frac{ \lambda_{n+1}}{\lambda_n} \to 1.

 Esta conjetura está abierta, y no es el propósito de este post demostrarla, sino que lo que voy a hacer es explicar un caso particular interesante de por si:

Teorema (McDuff) El Cantor usual \mathcal{C} (de remover tercios) no es el conjunto minimal de ningún difeomorfismo C^1 del círculo.

Como mencioné, la prueba que voy a contar, me la mostró Aldo.  Nótese que el expectro de \mathcal{C} verifica que \frac{\lambda_{n+1}}{\lambda_n} = \frac 1 3.

La idea de la prueba es simple, pero necesita dibujos para ser clara. Como yo no tengo ninguna intención de aprender a hacer dibujos en WordPress, le recomiendo a quien lea que los haga mientras lee la prueba.

La prueba es por contradicción, por lo tanto, consideremos f: S^1 \to S^1 un difeomorfismo C^1 que tiene \mathcal{C} como conjunto minimal.

Usando la continuidad uniforme de f', fijamos \varepsilon>0 tal que d(x,y) < \varepsilon implica que

\frac{|f'(x)|}{|f'(y)|} < \frac{3}{2}

Consideramos una unión finita de intervalos I_{i_1}, \ldots, I_{i_k} de \mathcal{C} de forma tal que S^1 \setminus (I_{i_1} \cup \ldots \cup I_{i_k}) = T_1 \cup \ldots \cup T_k donde los T_i son intervalos (cerrados) de longitud menor que \varepsilon. Consideramos \delta>0 un número que sea menor que las longitudes de los intervalos I_{i_j} (Nota:  Para evitar confusiones posteriores remarco acá que en principio, \delta puede ser mucho menor que \varepsilon, ya es momento de hacer el dibujo teniendo esto en cuenta).

Consideramos ahora un intervalo I_m = J \subset T_1 de forma tal que |f^n(J)| < \frac{\delta}{10} para todo n \geq 0. Llamamos a_n = |f^n(J)|.

Sea ahora W  un entorno de J que podemos suponer está contenido en T_1 y de forma tal que |W| < \frac{11}{10} |J|.

Afirmación:  Para todo n \geq 0 se cumple que f^n(W) está contenido en el mismo T_i que f^n(J).

Probando esta afirmación se llega a un absurdo.  De hecho, W debería contenter intervalos de \mathcal{C}^c cuyos iterados futuros contengan a alguno de los intevalos I_{i_j} con j=1, \ldots, k, lo cual no está permitido por la afirmación anterior.

Para probar la afirmación utilizaremos el hecho que el cociente entre las longitudes consecutivas de intervalos del complemento de \mathcal{C} es siempre 3. Probemos la afirmación por inducci\’on.

Asumamos que se cumple que f^n(W) verifica las siguientes dos propiedades:

  • f^n(W) está contenido en el mismo T_i que f^n(J).
  • Todos los intervalos del complemento de \mathcal{C} en f^n(W) diferentes de f^n(J) tienen longitud estrictamente menor que f^n(J).

Claramente la hipótesis se cumple para n=0. Ahora, para ver que se cumple para f^{n+1}(W) notemos primero que la segunda propiedad se tiene que cumplir.

De hecho, como f^n(W) está contenido en un T_i (que tiene longitud menor que \varepsilon) se tiene que si J' es un intervalo del complemento de \mathcal{C} en f^n(W) se cumple que  \frac{|J'|}{|f^n(J)|} \leq \frac{1}{3} por hipótesis (y por la propiedad de \mathcal{C}).  Además,  por el teorema del valor medio |f(J')|= |f'(x)| |J'| para algún x \in J'. Lo mismo se tiene con |f^{n+1}(J)| = |f'(y)| |f^n(J)| con y \in f^n(J). Como x,y \in T_i y |T_i| < \varepsilon tenemos que:

\frac{|f(J')|}{|f^{n+1}(J)|} = \frac{|f'(x)|}{|f'(y)|} \frac{|J'|}{|f^n(J)|} \leq \frac{1}{2}

lo cual prueba la segunda propiedad. Pero esta segunda propiedad  inmediatamente implica la primera dado que como |f^{n+1}(J)| < \frac{\delta}{10} tenemos que no puede haber ningún intervalo en f^{n+1}(W) de longitud mayor o igual a \delta con lo cual la imágen de f^n(W) tiene que estar totalmente contenida en algún T_i que por conexión tiene que ser el mismo que f^{n+1}(J). Esto termina la prueba.

El lector sabrá adaptar la prueba para encontrar nuevos conjuntos de Cantor que no son el conjunto minimal para ningún difeomorfismo C^1. Para ideas nuevas y otras obstrucciones, mirar los trabajos de Aldo y de Aldo y Jorge Iglesias.

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