Los seguidores de Manolo

Prescribiendo las derivadas de una función.

In Análisis Real y Complejo on Domingo 8, diciembre, 2013 at 11:44 am

por Rafael Potrie

En este post voy a comentar sobre la siguiente pregunta: Dado a_n una sucesión de reales, será que existe f, una función C^\infty de \mathbb{R} que verifica que la derivada n-ésima de f en 0 es igual a a_n?

Claramente, la respuesta es bien conocida en el caso que se busque que la función f sea analítica y la palabra clave para esto es radio de convergencia. Mi objetivo era saber si existía una obstrucción (posiblemente más débil) en el caso C^\infty. Luego de preguntar a varias personas, finalmente el Rambo me consiguió la referencia adecuada que muestra que no hay ninguna obstrucción: Siempre es posible construir una tal función f. Este post se encargará de dar una prueba de este resultado.

Fijemos entonces una sucesión de reales a_n. Para construir la función f primero consideraremos una función chichón \rho : \mathbb{R} \to \mathbb{R} de clase C^\infty que verifique que \rho es identicamente igual a 1 en un entorno de 0 y se anula fuera del intervalo [-1,1]. La existencia de una tal función es un hecho bien sabido que se puede encontrar en varios lugares.

Ahora fijada una sucesión b_n \to \infty podemos considerar la siguiente función:

f_b (x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!} \rho(b_n x) si x \neq 0

y f_b (0)=a_0.

Primero que nada, dado que b_n \to \infty tenemos que para un x \neq 0 cualquiera, existe un pequeño entorno donde la suma que define f_b es (uniformemente) finita con lo cual la función está bien definida y es de clase C^\infty fuera del 0.

Vamos ahora a elegir la sucesión b_n de forma tal que f_b sea C^\infty en 0. Para esto, alcanza mostrar que para todo k \in \mathbb{N} tenemos que se existe K_k \in \mathbb{R} tal que en un entorno de 0 vale que:

|\sum_{n=k} a_n \frac{x^n}{n!} \rho(b_nx)| \leq K_k x^k

Mostrando esto automáticamente obtenemos también que el Taylor en 0 es el deseado, con lo cual esto es todo lo que queda por mostrar.

Dividiendo entre x^k alcanza encontrar entonces la sucesión b_n tal que para todo k se cumpla que

S_k= \sum_{n=0}^\infty |a_{k+n} \frac{x^n}{(n+k)!} \rho(b_{k+n} x) | \leq K_k

Para esto, es suficiente considerar b_n > 2^n \tilde a_n donde \tilde a_n = \max \{1, |a_n| \}. De esta forma, nos garantizamos que el término n-ésimo de S_k es menor que \frac{1}{2^n} (salvo para el término k-ésimo que es constante igual a |a_k| en un entorno de 0) en todo \mathbb{R} garantizando que K_k es menor o igual a |a_k| + 1.

Voy a detallar esto un poco más con la esperanza de ser un poco más claro. La condición en b_n garantiza que la función \rho(b_n x) se anula fuera de [-\frac{1}{b_n}, \frac{1}{b_n}] que por como fue elegido b_n nos dice que independientemente del valor de n \geq 1 se cumple que |a_{k+n} \frac{x^n}{(n+k)!} \rho(b_{k+n}x)| < \frac{1}{2^n} (esto no vale si n=0 pero ahi tenemos la cota a_{k} que dijimos encima).

 Esto termina la prueba.

  1. ¡Muy interesante dogor! No me queda claro cómo la b_n afecta el tamaño de S_k. Aparece sólamente adentro de la función \rho. Si es acotando la x me queda un factor |a_{n+k}|/|a_n|^n que no sé acotar. ¡Salute!

  2. El valor de b_n afecta el valor de S_k pues en función de su valor se tiene el intervalo donde el chichon se anula. Releyendo me doy cuenta que escribí al revés, el objeto es que \rho se anule fuera del intervalo [-\frac{1}{2^n\tilde a_n}, \frac{1}{2^n \tilde a_n} y para eso hay que pedir que b_n > 2^n \tilde a_n (lo cual tiene más sentido con la afirmación anterior de que b_n \to \infty. Cuando tenga un poco de tiempo lo arreglo. De mientras, aprovecho para comentar que encontré otra prueba (similar) en el libro de Katok-Hasselblatt (Capitulo 6 sobre el final).

  3. Hice algunas ediciones. Espero esté más claro ahora….

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: