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Conjuntos ambiente homogeneos

In Grupos y geometría, Topología on Lunes 17, febrero, 2014 at 8:54 pm

por Rafael Potrie

El objetivo de este post es presentar un resultado que por mucho tiempo me resultó bastante misterioso pero que es sencillo y bastante lindo. Es una caracterización de las subvariedades encajadas a través de propiedades locales de sus encajes.

Para mantener la discusión simple (sin perder generalidad) trabajaremos en \mathbb{R}^d. Es fácil ver, dado que todos los argumentos y definiciones son locales, que esto se extiende de forma directa a variedades diferenciables en general.

Sea \Lambda \subset \mathbb{R}^d un conjunto localmente compacto. Decimos que \Lambda es C^1ambiente homogeneo si se cumple que para todo par de puntos x, y \in \Lambda existen entornos U_x y U_y en \mathbb{R}^d de ellos y un difeomorfismo \varphi: U_x \to U_y de clase C^1  que manda x en y y cumple que \varphi(U_x \cap \Lambda)= U_y \cap \Lambda.

Probaremos un resultado debido a Repovs. Skopenkov y Scepin que afirma que un conjunto C^1-ambiente homogeneo es una subvariedad C^1 encajada en \mathbb{R}^d. Notar que es un ejercicio sencillo mostrar que las sub-variedades encajadas de clase C^1 son efectivamente C^1-ambiente homogeneas. No veremos muchas aplicaciones, referimos al  lector por ejemplo a este paper de Amie Wilkinson que utiliza este resultado y da una prueba del caso C^r. Si mencionamos que este resultado tiene como consecuencia directa que los subgrupos cerrados de un grupo de Lie son grupos de Lie.

Es un ejercicio interesante mostrar que el conjunto de Cantor puede ser encajado en \mathbb{R}^2 de forma tal de ser Lipschitz ambiente homogéneo. Otro interesante ejercicio es mostrar el resultado para el caso de subconjuntos C^0-ambiente homogeneos de \mathbb{R}.

Empecemos entonces por enunciar el resultado a ser probado:

Teorema (Repovs-Skopenkov-Scepin) Todo subconjunto \Lambda \subset \mathbb{R}^d que es C^1-ambiente homogéneo es una subvariedad C^1-encajada.

Recordar que la definición que dimos de C^1-ambiente homogéneo requería ser localmente compacto: Un contraejemplo sin esa hipótesis queda dado por los racionales en la recta real (ambiente homogéneo por traslaciones y no es subvariedad encajada).

La prueba se divide en dos partes: La primera es ver que un conjunto C^1-ambiente homogéneo es una subvariedad encajada Lipschitz (nota importante: Para probar esto, ser C^1-ambiente homogéneo es crucial). La prueba de este hecho será autocontenida. La segunda parte es utilizar algunos hechos bien conocidos de análisis junto con la homogeneidad para concluir la prueba (El Teorema de Rademacher y el hecho de que toda función diferenciable tiene puntos de continuidad de su derivada). Esto último se hará refiriendo a esos hechos sin demostración (el Teorema de Rademacher podría ser en un futuro un buen tema para hacer otro post).

Empecemos por el primer punto. Comenzaremos por definir algunos objetos (Puede ser útil en una primera leída seguir la prueba en el caso de d=2 donde muchas partes se vuelven más simples).

Definimos P^k (con 0\leq k \leq d+1) como el semiplano de \mathbb{R}^d dado por los puntos (x_1, ..., x_d) tal que x_k \geq 0 y x_i=0 para k< i \leq d. Notar que P^0 es solamente el origen y que P^{d+1} es todo \mathbb{R}^d. Sea \hat P^k la intersecci\’on de P^k con el borde de la bola de radio uno centrada en el origen.

Podemos entonces definir B^k_\ell como el conjunto de puntos x en B(0,\frac{1}{\ell})\setminus \{0\} tal que la recta por el origen y x intersecta la bola de radio 1 en el \frac{1}{\ell} entorno de \hat P^k.

En particular, tenemos que B^0_\ell es siempre el conjunto vacío y B^{d+1}_\ell = B(0, \frac{1}{\ell})\setminus \{0\}. Por otro lado, los conjuntos B^k_\ell son semiconos que se hacen cada vez más pequeños a medida que se agranda \ell (Recordar la sugerencia de pensar esto para d=2 en la primera leída).   Para simplificar la realización de un dibujo por parte del lector, notemos que si 1 \leq k \leq d se cumple que:

B^k_\ell = \{ x=(x_1,...,x_d)  :  -\ell^2 x_k < \|x\| < \frac{1}{\ell}  ,  \ell^2 |x_i| < \|x\| con k<i\leq d \}

Lema Supongamos que \Lambda es C^1-ambiente homogéneo y existe un punto x \in \Lambda una matriz ortogonal A, un 0\leq k\leq d+1 y un valor de \ell>0 tal que (x + AB^k_\ell) \cap \Lambda = \emptyset. Entonces, para todo y \in \Lambda se cumple que existe A_y matriz ortogonal y \ell_y>0 tal que (y + A_y B^k_{\ell_y}) \cap \Lambda = \emptyset.

Este Lema es una consecuencia inmediata de ser C^1-ambiente homogéneo. No por ello no deja de ser crucial en la prueba (es exactamente esto que falla si pedimos ser Lipschitz-ambiente homogéneo).

Sea entonces ahora k=0 ,...,d+1 el mayor valor posible de k de forma tal que exista x\in \Lambda, una matriz ortogonal A y un valor de \ell de forma tal que (x + AB^k_\ell) \cap \Lambda= \emptyset. Como B^0_\ell = \emptyset se cumple que un tal k existe. Por otro lado, podemos suponer que k \leq d pues en caso contrario obtenemos que \Lambda tiene un punto aislado (y por ende, todos sus puntos son aislados y esto implica que es un encaje de una variedad 0-dimensional).

Proposición. El conjunto \Lambda es una subvariedad encajada Lipschitz de dimensión d-k (en particular, k\neq d).

Demostración. Por el Lema anterior se cumple que para todo punto x\in \Lambda existen A_x ortogonal y \ell_x>0 tal que (x + A_x B^k_{\ell_x}) \cap \Lambda= \emptyset. Notar que si consideramos A' muy cerca de A_x la propiedad sigue valiendo ya que esta es abierta.

Sea entonces \{A_n\} un conjunto denso numerable de matrices ortogonales y consideramos \Lambda_n el conjunto de puntos x \in \Lambda tal que (x + A_n B^k_n) \cap \Lambda = \emptyset. Por lo anterior, tenemos que \Lambda = \bigcup_n \Lambda_n. Probaremos que \Lambda_n es cerrado para evocar el Teorema de Baire y concluir que existe n >0 tal que \Lambda_n tiene interior (relativo a \Lambda). Para que el Teorema de Baire sea aplicable se necesita que \Lambda sea un espacio de Baire, pero eso es directo de la compacidad local de dicho conjunto.

La prueba de que \Lambda_n es cerrado es directa ya que por la misma razón de que matrices cercanas sirven, la propiedad de que para una matriz dada y un valor de \ell dado no se intersecte a \Lambda es abierto en el punto donde se “apoya” A_n B^k_n. Esto requiere (claramente) que el (en un entorno fijo) conjunto \Lambda sea cerrado y es por ello que la condición de que \Lambda sea localmente compacto es fundamental para esto.

Tomando un pequeño entorno U \subset \mathbb{R}^d podemos suponer que \hat \Lambda= \Lambda \cap U \subset \Lambda_n. Sin perdida de generalidad, mediante un cambio de coordenadas afín, podemos suponer que U= [0,1]^d.

Notemos primero que para x \in \hat \Lambda no solamente se cumple que (x + B^k_\ell) \cap \hat \Lambda= \emptyset sino que también se cumple que (x- B^k_n) \cap \hat \Lambda = \emptyset pues si y \in (x-B^k_n)\cap \hat \Lambda entonces x \in (y + B^k_n) \cap \hat \Lambda que contradice la definición de \hat \Lambda.  Notar que esto ya implica que k \leq d-1 pues en caso contrario se encuentra un punto aislado en \Lambda lo cual implica que k=d+1 que ya vimos era suficiente para probar la proposición.

Sea \pi : [0,1]^d \to [0,1]^{d-k} dado por proyectar en las primeras d-k coordenadas. Por lo probado en el párrafo anterior, se cumple que \pi es inyectiva al restringirse a \hat \Lambda. La proposición sigue de mostrar que \pi(\hat \Lambda) tiene interior y utilizar la homogeneidad (que preserva la estructura de variedad Lipschitz).

Supongamos entonces que \pi(\hat \Lambda) no tiene interior, en particular, podemos encontrar un punto z \in [0,1]^{d-k} arbitrariamente cerca del centro que no pertenece a \pi(\hat \Lambda).  Por la compacidad local podemos suponer que \pi(\hat \Lambda) es compacto y por lo tanto d(z, \pi(\hat \Lambda)) >0 y consideramos y \in \pi(\hat \Lambda) que realize la distancia. Sea D la bola abierta de centro z y radio d(z,\pi(\hat \Lambda)) que cumple que \pi^{-1}(D) \cap \hat \Lambda=\emptyset. Esto implica que para el punto x\in \hat \Lambda tal que \pi(x)=y tenemos que existe \ell  y una matriz ortogonal A tal que (x + AB^{k+1}_\ell) \cap \hat \Lambda = \emptyset y como \ell es grande se cumple que (x + AB^{k+1}_\ell) \cap \Lambda= \emptyset con lo cual contradecimos que k era maximal. Esto concluye.

LQQD

A partir de la Proposición, el Teorema sigue de una aplicación directa de la homogeneidad y un par de resultados clásicos de análisis. Primero, el Teorema de Rademacher dice que un mapa Lipschitz es diferenciable en al menos un punto (de hecho afirma que es diferenciable c.t.p.) y por homogeneidad tiene entonces que ser derivable en todo punto. Ahora, otro resultado (que es un ejercicio de aplicación del Teorema de Baire) afirma que una función diferenciable en todo punto tiene puntos de continuidad de su derivada que, de nuevo por homogeneidad, implica que \Lambda es C^1.

La extensión de este resultado al caso C^r (ver aquí ) involucra la utilización cuidadosa de espacios de Jets donde por inducción y aplicación repetida de este resultado se obtiene la prueba. Hasta donde se, el caso analítico es una pregunta de V.I. Arnold que continua abierta.

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