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Topologias en conjuntos finitos

In Topología on Lunes 28, abril, 2014 at 3:24 pm

por Andrés Sambarino

Voy a parafrasear este artículo de wikipedia que me dejó como loco.

El asunto es poner una topología en un conjunto de 4 elementos, y ver que el grupo fundamental es \mathbb{Z}. La cosa es así: Considerás X=\{a,b,c,d\}, con la topología \tau=\{\emptyset, X, \{a,b,c\},\{a,b,d\}, \{a,b\},\{a\},\{b\}\}.

cuatroSe puede construir fácil una función contínua sobreyectiva del círculo en (X,\tau) como en el dibujo: Consideramos el círculo como vectores de norma 1 en \mathbb{R}^2, y definimos

f(x,y)=\left\{\begin{array}{cccc}a\textrm{ si }x<0,\\ b\textrm{ si }x>0\end{array}\right.,

f(1,0)=c y f(-1,0)=d.

Para calcular el grupo fundamental, la idea es ver que el espacio X es union de dos abiertos contractibles, \{a,b,c\} y \{a,b,d\} cuya intersección son dos conjuntos contractibles. Para ver que \{a,b,c\} es contractible basta observar que \{a,b\} es abierto y \{c\} es cerrado y considerar el mapa H:\{a,b,c\}\times[0,1]\to\{a,b,c\} dado por

H(x,t)=x para t<1/2 y H(x,t)=c para t\geq1/2.

En esta situación no se puede usar el teorema de van Kampen, porque la intersección de \{a,b,c\} con \{a,b,d\} no es conexa, pero parece que hay una generalizacion que permite usar van Kampen con varios puntos base.

Resulta ademas, que en este artículo, McCord prueba que cualquier CW complejo finito (finitas celulas) es debilmente homotopicamente equivalente (i.e. hay una función que es un isomorfismo en todos los gruos de homotopia) a una topología en un conjunto finito…

 

 

 

 

 

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