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Cómo sacarle la torsión a SL(d,Z)

In Grupos y geometría, Teoría de números on Miércoles 27, agosto, 2014 at 12:18 pm

por Andrés Sambarino

La idea de este texto es explicar cómo hacer para encontrar un subgrupo de indice finito de

\textrm{SL}(d,\mathbb{Z})=\{\textrm{matrices }d\times d\textrm{ con entradas en }\mathbb{Z}\textrm{ y }\det=1\},

que no tenga torsión.

Sea \lambda un entero algebraico, es decir, \lambda es raíz de un polinomio mónico p\in\mathbb{Z}[x]. El conjunto \{p\in\mathbb{Q}[x]: p(\lambda)=0\} es un ideal de \mathbb{Q}[x] y, dado que \mathbb{Q}[x] es un DIP (i.e. todo ideal es generado por un elemento) existe un polinomio p_\lambda\in\mathbb{Z}[x] tal que si p(\lambda)=0 entonces p= p_\lambda\cdot q para algún q\in\mathbb{Z}[x]. El polinomio p_\lambda es único si exigimos que los coeficientes no tengan un divisor común. El grado de \lambda es el grado de p_\lambda.

El primer paso clave es el siguiente:

Lema. Sea g\in\textrm{SL}(d,\mathbb{Z}) un elemento de torsión, entonces sus valores propios son raíces de la unidad, de grado a lo sumo d.

Prueba. Es obvio que los valores propios de g son raíces de la unidad, ya que g^n=\textrm{Id}. Sea \lambda un valor propio de g, y p_\lambda\in\mathbb{Z}[x] el polinomio irreducible sobre \mathbb{Z} asociado a \lambda. El polinomio característico de g tiene a \lambda por raíz y por tanto a p_\lambda por factor, así d\geq k.

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