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Cómo sacarle la torsión a SL(d,Z)

In Grupos y geometría, Teoría de números on Miércoles 27, agosto, 2014 at 12:18 pm

por Andrés Sambarino

La idea de este texto es explicar cómo hacer para encontrar un subgrupo de indice finito de

\textrm{SL}(d,\mathbb{Z})=\{\textrm{matrices }d\times d\textrm{ con entradas en }\mathbb{Z}\textrm{ y }\det=1\},

que no tenga torsión.

Sea \lambda un entero algebraico, es decir, \lambda es raíz de un polinomio mónico p\in\mathbb{Z}[x]. El conjunto \{p\in\mathbb{Q}[x]: p(\lambda)=0\} es un ideal de \mathbb{Q}[x] y, dado que \mathbb{Q}[x] es un DIP (i.e. todo ideal es generado por un elemento) existe un polinomio p_\lambda\in\mathbb{Z}[x] tal que si p(\lambda)=0 entonces p= p_\lambda\cdot q para algún q\in\mathbb{Z}[x]. El polinomio p_\lambda es único si exigimos que los coeficientes no tengan un divisor común. El grado de \lambda es el grado de p_\lambda.

El primer paso clave es el siguiente:

Lema. Sea g\in\textrm{SL}(d,\mathbb{Z}) un elemento de torsión, entonces sus valores propios son raíces de la unidad, de grado a lo sumo d.

Prueba. Es obvio que los valores propios de g son raíces de la unidad, ya que g^n=\textrm{Id}. Sea \lambda un valor propio de g, y p_\lambda\in\mathbb{Z}[x] el polinomio irreducible sobre \mathbb{Z} asociado a \lambda. El polinomio característico de g tiene a \lambda por raíz y por tanto a p_\lambda por factor, así d\geq k.

\square

El siguiente paso es ver que el conjunto de las raíces de la unidad, que tienen grado \leq d es un conjunto finito. Esto es a priori no trivial: por ejemplo, las raíces del polinomio x^{30}-1 tienen grado a lo sumo 8 (ver acá).

Lema. Sea \mathscr{P}_n\subset\mathbb{Z}[x] el conjunto de polinomios mónicos, de grado n, cuyas raíces tienen modulo \leq 1, entonces \mathscr P es finito.

Prueba. Sea p\in\mathscr{P}_n con raíces \lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\mathbb{C}. Como $latex

p$ es mónico, tenemos la siguiente formula para escribir los coeficientes de p en función de las raíces: si p=x^n+\sum a_ix^i entonces

{\displaystyle a_i=(-1)^i\sum_{I\subset\{1,\ldots,n\},\ |I|=i}\prod_{j\in I}\lambda_i.}

Concluimos que |a_i|\leq \binom{n}{i}, lo que da un numero finito de posibilidades dado que a_i\in \mathbb{Z}.

\square

Así, el conjunto de polinomios

\mathscr{T}=\{p_\lambda:\lambda \textrm{ es valor propio de alg\'un elemento de torsi\'on de }\textrm{SL}(d,\mathbb{Z})\}

es finito. Para todo elemento g\in\textrm{SL}(d,\mathbb{Z}) que sea de torsión, existe algún p\in\mathscr T tal que \det p(g)=0. Mas aún, como cada p\in\mathscr{T} es irreducible en \mathbb{Z}, se tiene que p(1)\neq 0, así \det p(\textrm{Id})\neq 0 para todo p\in\mathscr T.

Consideramos N\in\mathbb{N} tal que para todo p\in\mathscr T vale \det p(\textrm{Id})\neq0 \pmod N. El núcleo del morfismo \textrm{SL}(d,\mathbb{Z})\to\textrm{SL}(d,\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}) es de índice finito (la imagen es finita) y sin torsión.

\square

  1. […] prueba se verá que se puede conseguir como un subgrupo de para algún así usando resultados de este post, se puede encontrar un subgrupo sin torsion y de indice finito en para obtener así una […]

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