Los seguidores de Manolo

Archive for 12 noviembre 2014|Monthly archive page

Álgebras centrales simples

In Álgebra on Miércoles 12, noviembre, 2014 at 4:48 pm

por Bruno Stonek

Consideremos las álgebras (asociativas, con unidad) sobre un cuerpo. Intentemos pensar en qué ejemplos tenemos a mano:

– Álgebras de matrices. Si las tomamos con coeficientes en un cuerpo, o más en general en un anillo con división, estas álgebras resultan simples, i.e. no tienen ideales biláteros propios. Esto no es difícil de ver. La prueba es: ponele que tenés un ideal no trivial. Agarrate un elemento no nulo. Con ese elemento, multiplicándolo a izquierda y a derecha por matrices de la base canónica y normalizando podés conseguir cualquier elemento diagonal de la base canónica. Sumalos todos y tenés entonces la identidad en tu ideal.

– Álgebras de polinomios y sus respectivos cocientes por ideales. Esto es central en geometría algebraica, donde por decir algo el cociente de k[x_1,\dots,x_n] por un ideal primo está dando las funciones que tenemos sobre un cierto espacio geométrico (la variedad afín correspondiente). Esto es una familia muy grande de ejemplos, y el diccionario álgebra-geometría algebraica es una fuente de intuición acerca de propiedades algebraicas abstractas.

Lee el resto de esta entrada »