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Álgebras centrales simples

In Álgebra on Miércoles 12, noviembre, 2014 at 4:48 pm

por Bruno Stonek

Consideremos las álgebras (asociativas, con unidad) sobre un cuerpo. Intentemos pensar en qué ejemplos tenemos a mano:

– Álgebras de matrices. Si las tomamos con coeficientes en un cuerpo, o más en general en un anillo con división, estas álgebras resultan simples, i.e. no tienen ideales biláteros propios. Esto no es difícil de ver. La prueba es: ponele que tenés un ideal no trivial. Agarrate un elemento no nulo. Con ese elemento, multiplicándolo a izquierda y a derecha por matrices de la base canónica y normalizando podés conseguir cualquier elemento diagonal de la base canónica. Sumalos todos y tenés entonces la identidad en tu ideal.

– Álgebras de polinomios y sus respectivos cocientes por ideales. Esto es central en geometría algebraica, donde por decir algo el cociente de k[x_1,\dots,x_n] por un ideal primo está dando las funciones que tenemos sobre un cierto espacio geométrico (la variedad afín correspondiente). Esto es una familia muy grande de ejemplos, y el diccionario álgebra-geometría algebraica es una fuente de intuición acerca de propiedades algebraicas abstractas.

– Si permitimos tener coeficientes en un anillo conmutativo, tenemos también los anillos de enteros de un cuerpo de números. La idea es: agarrate una extensión finita de \mathbb{Q} (lo que se llama un cuerpo de números) y llamale K. De estas conocemos unas cuantas de cuando estudiamos teoría de Galois, nomás adjuntarle raíces de polinomios a \mathbb{Q}. Adentro de este cuerpo hay un subanillo, el subanillo de los elementos que son raíces de un polinomio mónico con coeficientes enteros. Este anillo es lo que se llama el anillo de enteros de K, y en palabras más coquetas es la clausura entera de \mathbb{Z} en \mathbb{K}. El cuerpo K es a este anillo lo que \mathbb{Q} es a \mathbb{Z}, por ejemplo, su cuerpo de fracciones. Esta fuente de ejemplos y la anterior están íntimamente relacionadas pero no sé bien cómo.

Un anillo es por definición lo mismo que una \mathbb{Z}-álgebra, así que en realidad preguntarse por ejemplos de álgebras incluye preguntarse por ejemplos de anillos, y de ahí el ítem anterior.

De hecho, el ítem sobre geometría algebraica también se puede hacer sobre un anillo, pero en vez de variedad afín va a haber que empezar a hablar de esquema afín.

– Álgebras de algún tipo de funciones sobre algún tipo de espacio. Esto es de importancia en análisis. Por ejemplo, cualquier espacio compacto y Hausdorff se puede reconstruir a partir de su álgebra de funciones complejas. Otra manera de leer el teorema linkeado es que cualquier C*-álgebra conmutativa es el álgebra de funciones complejas de un espacio compacto y Hausdorff. Uno puede preguntarse si una C*-álgebra no conmutativa es de alguna forma el álgebra de funciones sobre algún tipo de espacio “no conmutativo”. Este es el punto de partida de la geometría no conmutativa, si no me equivoco, sobre la cual no puedo decir nada más.

Tenemos también un montón de construcciones que permiten formar nuevas álgebras a partir de álgebras dadas: productos, productos tensoriales, cocientes por subálgebras, etcétera.

Y está el ejemplo del álgebra de cuaterniones también. El ejemplo del álgebra de cuaterniones (de Hamilton) real es bien conocido. Es \mathbb{R}^4 donde escribimos los elementos bajo la forma a+bi+cj+dk, y definimos una multiplicación en la base {1,i,j,k} (que es la base canónica) con las reglas del producto vectorial clásico. Ahí conseguimos un álgebra real, de dimensión 4, con división.

Este ejemplo muchos lo hemos aprendido suelto pero lo cierto es que también forma parte de una familia más grande de álgebras, las álgebras centrales simples de las cuales quiero decir un par de pavadas hoy.

Definición. El centro de un anillo A es la subálgebra conmutativa Z(A) formada por los elementos que conmutan con todo el mundo. Una F-álgebra es central si su centro es igual al cuerpo base, o sea, es lo menos conmutativa que puede ser, en algún sentido.

Repito una definición que ya comenté más arriba:

Definición: Un ánillo es simple si no tiene ideales biláteros propios.

Observar que un anillo con división es en particular un anillo simple (tampoco tiene ideales laterales, de hecho). El recíproco es falso, e.g. matrices sobre un cuerpo: ya comentamos que es simple, y tiene ideales laterales propios (los ideales columna o los ideales fila) luego no es a división. Las matrices sobre un anillo con división D también son simples, porque los ideales de M_n(D) son de la forma M_n(I) para I un ideal de D (otro hecho que se prueba con cuentas de matrices elementales).

Definición. Un álgebra central simple (acs) es un álgebra central y simple. Bueno, y de dimensión finita también. Todas las álgebras de ahora en más son de dimensión finita.

Ejemplo: Retomemos el primer ejemplo de hoy. Un álgebra de matrices con coeficientes en un cuerpo F es una F-acs. Es un ejercicio clásico de álgebra el ver que para un anillo cualquiera R se tiene que

Z(M_n(R))=\{\mbox{matrices escalares con coeficientes en }Z(R)\} \cong Z(R),

resultado que se prueba… multiplicando por matrices elementales (tema recurrente hoy). Luego si A es una F-acs se tiene que M_n(F) es una F-acs. Más en general, si D es una F-álgebra central, entonces M_n(D) es una F-acs.

El álgebra de cuaterniones arriba es un caso muy particular de una construcción general de álgebras de cuaterniones generalizadas, la siguiente. Sea F tu cuerpo preferido, sean a,b\in F^\times. Definí un algebra (a,b)_F como la F-álgebra generada por dos elementos i,j tales que i^2=a, j^2=b, ij=-ji.

Entonces el ejemplo clásico de arriba es (-1,-1)_{\mathbb{R}}.

Proposición: Toda álgebra de cuaterniones es central y simple.

Si tu cuerpo favorito es de característica dos, entonces a) la proposición de arriba es falsa, y b) tenés graves problemas psicológicos. Sí, supongamos a partir de ahora que el cuerpo tiene característica no dos. La prueba consiste en hacer cuentas adecuadamente astutas, cancelando un dos por ahí en la vuelta. La teoría de las acs sobre característica dos existe pero es diferente desde enseguidita, y no tengo idea sobre ella, y tampoco me llama mucho (no es por insistir, pero hay que ser medio rarito para meterse en esas cosas).

Bien, tenemos una nueva fuente de álgebras, pero por ahora no sabemos bien cómo pinta la cosa, cómo se conecta con lo que ya sabemos, qué cosas interesantes podemos decir sobre ellas, etc.

Suficiente intriga. Tenemos terrible teorema de estructura:

Teorema de Wedderburn: Sea A un álgebra sobre el cuerpo F. Son equivalentes:
a) A es un álgebra central simple sobre F,
b) A\cong M_r(D) para algún r\geq 1 y alguna F-álgebra central con división D.
El r asociado a A es único y la D es única a menos de isomorfismo.

A primera vista puede parecer como que el teorema este mató la teoría. O sea, qué gracia, cualquier álgebra central simple es un álgebra de matrices. Sí pero pará, una primera pregunta obvia y que vale la pena investigar es, ¿qué podemos decir sobre esos parámetros r y D? (sobre la prueba de este teorema no tengo nada para decir porque no tengo ninguna intuición. por ahí aparece ese lema tan útil como trivial, el lema de Schur).

Una manera intuitiva de leer el teorema anterior es: el acs se forma en dos etapas. Primero una etapa “a división” en la que sobre F tomás un álgebra central con división D. Después le agregás la parte “no a división” que toma la forma de matrices cuadradas de un cierto tamaño sobre D.

Ejemplo: Si tenés un álgebra central simple de dimensión 4, entonces por consideraciones de dimensión el teorema anterior dice que es o bien un álgebra con división, o bien un anillo de matrices sobre el propio cuerpo, en cuyo caso decimos que la acs es escindida.

Cabe preguntarse entonces, si tenés un álgebra de cuaterniones, ¿cuándo es a división y cuándo es escindida? Hay unas cuantas caracterizaciones. Y acá entra el vínculo con las formas cuadráticas. En una F-álgebra de cuaterniones Q hay definida una forma cuadrática Q\to F, llamada norma, que manda x en x\bar{x}, donde el conjugado \bar{x} es lo que te imaginás. Entonces un álgebra de cuaterniones Q es escindida si y sólo si la norma es isotrópica. El vínculo con la teoría de formas cuadráticas da para largo.

Podemos preguntarnos otra cosa: ¿qué álgebras de dimensión 4 sobre F son álgebras de cuaterniones?

Proposición: Todas.

Sorprende un poco, no? La cosa va más o menos por acá. Si es escindida, o sea, si es M_2(F), entonces es fácil ver que (1,\alpha)_F es isomorfa a M_2(F) para cualquier \alpha\not=0. Basta tomar A=\left(\begin{smallmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{smallmatrix}\right), B=\left(\begin{smallmatrix}0 & \alpha \\ 1 & 0\end{smallmatrix}\right) y ver que M_2(F) está presentada con estos dos generadores y las relaciones que definen al álgebra de cuaterniones (1,\alpha)_F

Si es a división, entonces… entonces es más complicado y hay que usar algunos resultados más avanzados de la teoría con respecto a subcuerpos maximales de un acs. (Al menos por ahí va la prueba que tengo a mano, capaz que hay alguna más elemental).

Sigamos un poquito con la teoría. Ordenemos los invariantes numéricos que tenemos.

Proposición: Si A es una F-acs entonces su dimensión sobre F es un cuadrado: \dim_F A=n^2. Más precisamente: si usamos el teorema de Wedderburn y escribimos A=M_r(D), entonces \dim_F A=r^2d^2, donde d^2=\dim_F D. El número n=rd (la raíz de la dimensión de A) se llama el grado de A y el número d (la raíz de la dimensión de D se llama el índice (de Schur). Al r le llaman a veces coíndice.

Los pasos para la demostración son los siguientes:

Lema 1: Si D es una F-acs con división, entonces si x\in D se tiene que F[x]\subset D es un subcuerpo.
Lema 2: La única álgebra central con división sobre un cuerpo algebraicamente cerrado es el propio cuerpo. Esto es consecuencia directa del lema 1.
Lema 3: Si F\subset K es una extensión de cuerpos, entonces la extensión de escalares A\otimes_F K es una K-acs de la misma dimensión (esto ya da más laburo.)

Agarrá tu álgebra A y usá el teorema de Wedderburn: A=M_r(D). Entonces \dim_F A=r^2\dim_F D: veamos que \dim_F D es un cuadrado.
Extendé escalares a la clausura algebraica de F, i.e. considerá D\otimes_F K. Por el lema 3 esto es una K-acs de dimensión n, luego por el lema 2 y el teorema de Wedderburn tenemos que D\otimes_F K =M_d(K) para un cierto d. Comparando dimensiones obtenés que \dim_F D=d^2. \square

Hay alguna cosa más que quiero comentar. Primero, un teorema que voy a enunciar y nada más, porque no tengo nada interesante para decir:

Teorema (Skolem-Noether): Todo automorfismo de un acs es interno.

Las acs dan una manera de estudiar las álgebras centrales con división. Sean A,B acs.

Definición: A y B son Brauer-equivalentes (o Morita-equivalentes) si existen naturales r,s tales que M_r(A)\cong M_s(B).

Lema: A y B son Brauer-equivalentes si y sólo si las álgebras centrales con división asociadas por el teorema de Wedderburn son isomorfas. (fácil)

O sea, la equivalencia esta mira sólo la parte con división. Sea Br(F) el conjunto de clases de equivalencia.

Proposición: Br(F) es un grupo con la operación de producto tensorial, llamado grupo de Brauer del cuerpo F. El neutro es el cuerpo, o cualquier anillo de matrices sobre el cuerpo, y el opuesto de A es A^{op}, el álgebra opuesta (i.e. misma estructura de F-módulo, y el producto está dado al revés que en A).

Este grupo aparece en teoría de números, dicen por ahí. Se puede expresar como un segundo grupo de cohomología de Galois.

Calcularlo no es trivial. Calcular Br(\mathbb{R}) como conjunto significa encontrar todas las álgebras (de dimensión finita) reales con división y centro \mathbb{R}. Además de \mathbb{R} ya hemos mencionado otra en este post: el álgebra de cuaterniones de Hamilton reales. Resulta que no hay más. Esto se puede demostrar con la propia teoría de álgebras centrales simples (lo de los subcuerpos maximales que comenté arriba, de los cuales no voy a hablar hoy), o se puede ver como un caso particular del un poco más general teorema de Frobenius.

El grupo de Brauer de \mathbb{Q} tiene que ver con cosas de aritmética que yo ni idea. Por lo pronto, es infinito. Esto era un ejercicio en un curso que pasé el año pasado y que me hizo sudar un poco de sangre.

El grupo de Brauer de un cuerpo finito es trivial. O sea, no hay álgebras centrales con división (de dimensión finita) sobre un cuerpo finito. Esto es consecuencia directa de otro teorema de Wedderburn, y la expliqué (muy por arribita) acá.

El lema 2 de por allá arriba dice que el grupo de Brauer de un cuerpo algebraicamente cerrado es trivial. Hay más ejemplos, pero ya dije todos los que sé y entiendo un poco.

Pinta terminar con una pregunta abierta para el público, no?

Sea A una F-acs y sea F'\supset F una extensión de cuerpos. Cómo se relacionan los invariantes de A con los de su extensión de escalares A_{F'}:=A\otimes_F F'?

Algo podemos decir. Por Wedderburn y un lema de por allá arriba, A\otimes_F F' \cong M_s(D') para algún s y alguna F'-álgebra central con división D'. Calculando índices obtenemos ind(A_{F'})=\frac{ind(A)}{s}. O sea, el índice se reduce o queda igual. Pero ese s, cómo lo calculamos?

No se sabe bien. Se sabe en algunos casos. Palabra clave: “fórmulas de reducción de índice”.

  1. […] – es un álgebra real con división solo cuando (comparar con el cálculo del grupo de Brauer de . […]

  2. […] estas son álgebras centrales simples, solo que no necesariamente asociativas y posiblemente con divisores de […]

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