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Construcciones aritméticas parte 2

In Álgebra, Grupos y geometría, Teoría de números on Miércoles 5, agosto, 2015 at 1:15 pm

por Andrés Sambarino

El plan ahora es contar otro tipo de construcción aritmética que da lugar a subgrupos \Gamma de co-volumen finito de \textrm{PSL}(2,\mathbb{R})^\alpha\times\textrm{PSL}(2,\mathbb{C})^\beta, para \alpha,\beta\geq0 (es decir, modulo torsion, variedades de volumen finito modeladas en (\mathbb{H}^2)^\alpha\times(\mathbb{H}^3)^\beta) y sobre el final vamos a enunciar la formula para calcular el co-volumen de \Gamma en términos de las cuestiones aritméticas que aparecen en su construcción.

La construcción empieza por elegir un cuerpo k que sea una extension finita de \mathbb{Q}. Si el numero de morfismos de k en \mathbb{C} se escribe como r+2\beta, donde r son aquellos que caen \mathbb{R} (y el 2 es para no contar uno y su conjugado), entonces vamos a explicar la idea de como construir un subgrupo de co-volumen finito de \textrm{PSL}(2,\mathbb{R})^\alpha\times\textrm{PSL}(2,\mathbb{C})^\beta para 0\leq \alpha\leq r. Así, el cuerpo \mathbb{Q}(\sqrt{-1}) da lugar a 3-variedades hiperbólicas de volumen finito, el cuerpo \mathbb{Q}(\sqrt2) da lugar a superficies hiperbólicas de area finita y el cuerpo \mathbb{Q}(\sqrt[3]2) da lugar a variedades de volumen finito modeladas en \mathbb{H}^2\times\mathbb{H}^3 que no son un producto.

Esta historia nace en el paper de Borel, lo que vamos a contar acá se encuentra en el libro de Maclachlan-Ried.

El asunto viene con las álgebras de cuaterniones: si k es un cuerpo y a,b\in k^*=k-\{0\} definimos el álgebra de cuaterniones H=H/k=H_{(a,b)/k} sobre k, como el espacio vectorial sobre k generado por \{1,i,j,ij\} con las relaciones de producto

i^2=a\cdot 1=a,\ j^2=b\textrm{ y } ij=-ji. Leer el resto de esta entrada »

Clasificación de superficies simplécticas racionales y regladas parte 1

In Análisis Real y Complejo, Grupos y geometría on Viernes 3, julio, 2015 at 2:59 pm

por Agustín Moreno

En pos de contextualización, este post surgió de una discusión sobre matemática y afines con el sambita, mientras nos partiamos la boca con tremendos churrascos y un vinito en algún bar perdido de Paris. El tipo queria saber para que quiere uno las curvas holomorfas esas de las que tanto se ha oido hablar, definidas nada más y nada menos que por el mismísimo Gromov allá por el ’85 con su tremendo paper. Y ahi me acordé de un teoremaso de McDuff, sobre el cual este divague va a tratar. Todo lo que voy a decir sale de estas notas de mi supervisor, Chris Wendl.

Ya me disculpo por (y de aquí en más dimito responsabilidad por sobre) el coloquialismo, y la falta de formalidad y rigor y que el estimado lector puede encontrar. Proceda bajo su propio riesgo.

Primero, acordate de qué es una variedad simpléctica. Cortito y al pie, es una variedad (de dimensión par) con una 2-forma cerrada y no degenerada. En particular, son todas orientables, y en dimensión dos una forma simpléctica es simplemente una forma de volumen. Una subvariedad es simpléctica si la restricción de la forma simpléctica a dicha subvariedad es también simpléctica, i.e no degenerada.

Si ahora S \subseteq M es una superficie en una 4-variedad orientable, tenemos el pairing de intersección

H_2(M) \times H_2(M) \rightarrow \mathbb{Z}

(A,B) \rightarrow A.B,

que viene dado por dualidad de Poincaré, y que básicamente consiste en contar (con signos que vienen de la orientación) los puntos de intersección de dos superficies transversales que representan cada clase de homología. Recordar que también vale tomar el número de autointersección de una superficie; simplemente perturbala para que quede transversal a si misma y contá las intersecciones. Leer el resto de esta entrada »

Notas de Caminatas al azar

In Uncategorized on Miércoles 24, junio, 2015 at 6:20 pm

por Pablo Lessa

Hace poco tuve la suerte de dar un cursito en una escuela para estudiantes de grado en la universidad Notre Dame (Indiana, EEUU).  Escribo este artículo para divulgar las notas (en inglés) que preparé para el curso que están disponibles acá.  Aprovecho también para dar una idea de que se trató el asunto.

Comenzamos con el Teorema de Pòlya que dice que una caminata al azar simple en \mathbb{Z}^2 es recurrente (i.e. con probabilidad 1 visitará cada vértice infinitas) mientras que en \mathbb{Z}^3 no lo es (con probabilidad 1 eventualmente escapa cualquier conjunto finito de vértices para nunca regresar).

Las caminatas al azar simples son el ejemplo más sencillo de proceso aleatorio en un grafo infinito.  Formalmente se define una caminata al azar simple como una sucesión de vértices al azar x_0,x_1,\ldots tales que x_{n+1} se construye a partir de x_n eligiendo un vecino al azar (todos los vecinos son equiprobables y todas las elecciones son independientes).  La idea es que es una trayectoria al azar “continua” pero sin memoria ni “inteligencia” (un borracho en un grafo básicamente).

La idea del curso fué discutir la pregunta más básica sobre caminatas al azar que es: ¿En cuáles grafos infinitos la caminata al azar simple es recurrente?

Hicimos esto enfocándonos en dos familias de ejemplos:  grafos de Cayley de grupos discretos, y árboles.

Los grafos de Cayley son ejemplos de grafos “homogéneos” en el sentido que son iguales en todos lados (formalmente diríamos que es posible enviar un vértice a cualquier otro con un isomorfismo del grafo).  Se definen como sigue:  el grafo de Cayley de un grupo discreto G respecto a un generador finito y simétrico F tiene como conjunto de vértices el conjunto G y una arista une dos vértices x,y \in G si y sólamente si x = yg para algún g \in F.

Una primer pregunta es: ¿La recurrencia de un grafo de Cayley es una propiedad del grupo o puede depender del generador finito simétrico elegido?

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Dibujos Hiperbólicos

In Uncategorized on Miércoles 22, abril, 2015 at 4:14 pm

por Pablo Lessa

Agrego esta pequeña entrada para anunciar que estoy haciendo un programita cuyo objetivo es ayudar a generar figuras de cosas en el disco de Poincaré para incluir en archivos LaTex.  El programa es aún muy rudimentario pero ya funciona.   Me interesa recibir sugerencias o comentarios si algún valiente esta dispuesto a intentar usarlo. A modo de ejemplo, con la versión actual generé las siguientes figuras (en formatos png, pdf, y eps): test3 test4 test5 Para usar el programa se necesitan las siguientes 3 cosas (además de LaTex): Leer el resto de esta entrada »

Construcciones aritméticas parte 1

In Álgebra, Grupos y geometría, Teoría de números on Sábado 14, febrero, 2015 at 1:15 pm

por Andrés Sambarino

Me gustaría contar algunas construcciones aritméticas que dan lugar a variedades compactas modeladas en ciertas geometrías (globalmente) simétricas. Toda la info de este post está incluida en estas notas de Yves Benoist.

La construcción que vamos a hacer es un caso particular de un Teorema de Borel y Harish-Chandra y tiene, por ejemplo, la siguiente consecuencia.

Proposición. Sea n un entero positivo, entonces existe una variedad hiperbólica compacta de dimension n.

La primer idea que a uno se le ocurriría para demostrar esto es copiar lo que se hace en dimension dos: considerar poliedros hiperbólicos y pegar adecuadamente las caras; los ángulos formados entre las caras de dimensión mas chica tienen que verificar ciertas condiciones; y si todo va bien se obtiene una variedad hiperbólica compacta.

Resulta que con este método solo se conocen ejemplos concretos hasta dimensión 5 y se sabe que no puede andar en dimensión mas grande que 29 (porqué sera esto…?).

Consideramos en \mathbb{R}^{p+q} la forma cuadrática de signatura (p,q) dada por

\overline\omega(v)=v_1^ 2+\cdots+v_p^2-\sqrt2(v_{p+1}^ 2+\cdots+v_{p+q}^2)

y sea

\textrm{SO}(\overline\omega,\mathbb{R})=\{g\in\textrm{SL}(p+q,\mathbb{R}):\overline\omega\circ g=\overline\omega\}

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