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Construcciones aritméticas parte 1

In Álgebra, Grupos y geometría, Teoría de números on Sábado 14, febrero, 2015 at 1:15 pm

por Andrés Sambarino

Me gustaría contar algunas construcciones aritméticas que dan lugar a variedades compactas modeladas en ciertas geometrías (globalmente) simétricas. Toda la info de este post está incluida en estas notas de Yves Benoist.

La construcción que vamos a hacer es un caso particular de un Teorema de Borel y Harish-Chandra y tiene, por ejemplo, la siguiente consecuencia.

Proposición. Sea n un entero positivo, entonces existe una variedad hiperbólica compacta de dimension n.

La primer idea que a uno se le ocurriría para demostrar esto es copiar lo que se hace en dimension dos: considerar poliedros hiperbólicos y pegar adecuadamente las caras; los ángulos formados entre las caras de dimensión mas chica tienen que verificar ciertas condiciones; y si todo va bien se obtiene una variedad hiperbólica compacta.

Resulta que con este método solo se conocen ejemplos concretos hasta dimensión 5 y se sabe que no puede andar en dimensión mas grande que 29 (porqué sera esto…?).

Consideramos en \mathbb{R}^{p+q} la forma cuadrática de signatura (p,q) dada por

\overline\omega(v)=v_1^ 2+\cdots+v_p^2-\sqrt2(v_{p+1}^ 2+\cdots+v_{p+q}^2)

y sea

\textrm{SO}(\overline\omega,\mathbb{R})=\{g\in\textrm{SL}(p+q,\mathbb{R}):\overline\omega\circ g=\overline\omega\}

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