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Construcciones aritméticas parte 1

In Álgebra, Grupos y geometría, Teoría de números on Sábado 14, febrero, 2015 at 1:15 pm

por Andrés Sambarino

Me gustaría contar algunas construcciones aritméticas que dan lugar a variedades compactas modeladas en ciertas geometrías (globalmente) simétricas. Toda la info de este post está incluida en estas notas de Yves Benoist.

La construcción que vamos a hacer es un caso particular de un Teorema de Borel y Harish-Chandra y tiene, por ejemplo, la siguiente consecuencia.

Proposición. Sea n un entero positivo, entonces existe una variedad hiperbólica compacta de dimension n.

La primer idea que a uno se le ocurriría para demostrar esto es copiar lo que se hace en dimension dos: considerar poliedros hiperbólicos y pegar adecuadamente las caras; los ángulos formados entre las caras de dimensión mas chica tienen que verificar ciertas condiciones; y si todo va bien se obtiene una variedad hiperbólica compacta.

Resulta que con este método solo se conocen ejemplos concretos hasta dimensión 5 y se sabe que no puede andar en dimensión mas grande que 29 (porqué sera esto…?).

Consideramos en \mathbb{R}^{p+q} la forma cuadrática de signatura (p,q) dada por

\overline\omega(v)=v_1^ 2+\cdots+v_p^2-\sqrt2(v_{p+1}^ 2+\cdots+v_{p+q}^2)

y sea

\textrm{SO}(\overline\omega,\mathbb{R})=\{g\in\textrm{SL}(p+q,\mathbb{R}):\overline\omega\circ g=\overline\omega\}

el grupo de las transformaciones lineales de determinante 1 que preservan la forma \overline\omega. La ley de inercia de Sylvester implica que este grupo está unicamente determinado por la signatura de \overline\omega, por eso se nota usualmente por \textrm{SO}(p,q,\mathbb{R}). La elección en los coeficientes de la forma \overline\omega tiene la siguiente ventaja:

Teorema. El grupo \textrm{SO}(\overline\omega,\mathbb{Z}[\sqrt2]) es discreto y co-compacto en \textrm{SO}(\overline\omega,\mathbb{R}).

Antes de empezar con la prueba van 3 observaciones importantes:

  1. Eventualmente en la prueba se verá que \textrm{SO}(\overline\omega,\mathbb{Z}[\sqrt2]) se puede conseguir como un subgrupo de \textrm{SL}(k,\mathbb{Z}) para algún k, así usando resultados de este post, se puede encontrar un subgrupo sin torsion y de indice finito en \textrm{SO}(\overline\omega,\mathbb{Z}[\sqrt2]), para obtener así una verdadera variedad cociente.
  2. No hay nada particularmente especial en \mathbb{Q}(\sqrt2), la construcción general depende de una extension finita del cuerpo \mathbb{Q}.
  3. El grupo \textrm{SO}(n,1,\mathbb{R}) es isomorfo al grupo de isometrias de \mathbb{H}^n (ver acá el modelo del hiperboloide) así, el Teorema y la observación 1 implican la existencia de una variedad hiperbólica compacta de dimension dada.

El espacio de latices

Antes de hacer el caso general, vamos a centrarnos en un caso mas simple: una superficie hiperbólica aritmética compacta. Consideramos la forma cuadrática de signatura (2,1)

\omega(x,y,z)=x^2+y^2-3z^2.

Vamos a mostrar que \textrm{SO}(\omega,\mathbb{Z}) es (discreto y) co-compacto en \textrm{SO}(\omega,\mathbb{R}). Es importante ver que si en lugar de \omega tomamos la forma \omega_0=x^2+y^2-z^2, el grupo \textrm{SO}(\omega_0,\mathbb{Z}) es de co-volumen finito en \textrm{SO}(\omega_0,\mathbb{R}) pero no es co-compacto, la diferencia entre \omega y \omega_0, como muestra el Corolario 1, es que la ecuación \omega=0 no tiene soluciones en \mathbb{Z} (a diferencia de \omega_0=0).

El grupo \textrm{SO}(\omega,\mathbb{Z}) consiste en las transformaciones de \textrm{SO}(\omega,\mathbb{R}) que preservan el latice \mathbb{Z}^3\subset\mathbb{R}^3. Se tiene que entonces que \textrm{SO}(\omega,\mathbb{R})/\textrm{SO}(\omega,\mathbb{Z}) es un subconjunto del conjunto de latices de \mathbb{R}^3 (de covolumen 1), que queremos mostrar es compacto. Resulta que tenemos un criterio general relativamente simple para determinar si un subconjunto de \textrm{SL}(d,\mathbb{R})/\textrm{SL}(d,\mathbb{Z}) es compacto.

Un latice \Delta de \mathbb{R}^d es un subgrupo (aditivo) discreto y co-compacto. El espacio de latices es \textrm{GL}(d,\mathbb{R})-homogéneo, y el estabilizador del latice \mathbb{Z}^d es el grupo \textrm{GL}(d,\mathbb{Z}). Obtenemos así que el espacio de latices es X_d=\textrm{GL}(d,\mathbb{R})/\textrm{GL}(d,\mathbb{Z}). El co-volumen de \Delta\in X_d es

\textrm{vol}(\Delta)=\det(v_1,\ldots, v_d),

donde \{v_1,\ldots, v_d\} es una base de \Delta como \mathbb{Z}-modulo, y la sístole de \Delta,

{\displaystyle \textrm{sis}(\Delta)=\min_{v\in\Delta-\{0\}}\|v\|,}

es simplemente el vector de norma más chica en \Delta-\{0\}.

Criterio de Mahler. Un subconjunto X\subset X_d es de clausura compacta si y solo si \textrm{vol}|X esta acotado y \textrm{sis}|X esta lejos de cero.

La prueba de esto no es difícil y puede hacerse por inducción en d (de ahí la ventaja de enunciarlo para volumen variable y no restringirse a co-volumen 1).

El criterio de Mahler implica fácilmente el siguiente criterio.

Corolario 1. Sea p:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R} un polinomio con coeficientes en \mathbb{Q} tal que p:\mathbb{Q}^d-\{0\}\to\mathbb{Q} no tiene ceros. Si H\subset\textrm{SL}(d,\mathbb{R}) es un subgrupo que deja p invariante, (i.e. p(gv)=p(v) para todo g\in H) entonces H/H_\mathbb{Z}\subset \textrm{SL}(d,\mathbb{R})/\textrm{SL}(d,\mathbb{Z}) es de clausura compacta, donde H_\mathbb{Z}=H\cap\textrm{SL}(d,\mathbb{Z}).

Prueba. Podemos suponer que p tiene coeficientes enteros y que p(\mathbb{Z}^d)=\mathbb{Z}. El conjunto H/H_\mathbb{Z} es, por definición, la órbita del latice \mathbb{Z}^d por el grupo H, es decir H\cdot \mathbb{Z}^d. Si h\in H y v\in \mathbb{Z}^d-\{0\} entonces |p(hv)|=|p(v)|\geq 1. Esto implica que la sístole del latice h\mathbb{Z}^d esta uniformemente lejos de 0 (independiente de h). El criterio de Mahler termina la prueba.

\square

Corolario. Sea \omega la forma cuadrática \omega(x,y,z)=x^2+y^2-3z^2, entonces \textrm{SO}(\omega,\mathbb{Z}) es (discreto y) co-compacto en \textrm{SO}(\omega,\mathbb{R}).

Prueba. La forma \omega:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} es un polinomio con coeficientes enteros y \textrm{SO}(\omega,\mathbb{R})-invariante. Mostramos primero que 0\notin \omega(\mathbb{Z}^4-\{0\}). El truco acá es que si n\in\mathbb{Z} entonces n^2=0 ó 1 mod 4, así reduciendo la ecuación

x^2+y^2=3z^2 \mod 4

se tiene que x,y y z son necesariamente pares, pero eliminando las potencias de 2 hasta que alguno quede impar obtenemos una solución (mod 4), donde alguno es impar, que es imposible.

Tenemos entonces que \textrm{SO}(\omega,\mathbb{R})/\textrm{SO}(\omega,\mathbb{Z}) es de clausura compacta en \textrm{SL}(3,\mathbb{R})/\textrm{SL}(3,\mathbb{Z}). Falta probar entonces que \textrm{SO}(\omega,\mathbb{R})/\textrm{SO}(\omega,\mathbb{Z}) es cerrado, o lo que es lo mismo, que \textrm{SO}(\omega,\mathbb{R})\cdot\textrm{SL}(3,\mathbb{Z}) es un subconjunto cerrado de \textrm{SL}(3,\mathbb{R}). Sean entonces entonces g_nA_n\to g una sucesión en \textrm{SO}(\omega,\mathbb{R})\cdot\textrm{SL}(3,\mathbb{Z}) que converge. Tenemos que encontrar una matriz de coeficientes enteros A tal que gA^{-1} preserva \omega. Observamos entonces que la sucesión de formas cuadráticas

\omega_n=\omega\circ g_nA_n=\omega\circ A_n\to\omega\circ g

es convergente y a coeficientes enteros, por lo tanto es constante a partir de un momento. Tenemos así que para todos n,m grandes vale que para todo v\in\mathbb{R}^d se tiene \omega(A_nv)=\omega(A_mv). En particular, podemos escribir

\omega(v)=\omega(A_nA_m^{-1}v)\to \omega(g A_m^{-1} v).

Así gA_m^{-1} preserva \omega, i.e. gA_m^{-1}\in\textrm{SO}(\omega,\mathbb{R}).

\square

Si H es un subgrupo de \textrm{SL}(d,\mathbb{R}), poder decidir si una órbita de H en el espacio de latices es cerrada no es necesariamente fácil, por ejemplo, la acción del grupo \textrm{SO}(1,1,\mathbb{R}) en \textrm{SL}(2,\mathbb{R})/\textrm{SL}(2,\mathbb{Z}) es el flujo geodésico de \mathbb{H}^2/\textrm{SL}(2,\mathbb{Z}), que es Anosov. El criterio para que la orbita H\cdot\mathbb{Z}^d sea cerrada en X_d es que H sea un \mathbb{Q}-grupo algebraico sin \mathbb{Q}-caracteres (i.e. sin morfismos al grupo multiplicativo \mathbb{Q}^*). Supongo que en otro post explicaremos bien esto, por ahora vamos a seguir con el Teorema principal del post.

El grupo \textrm{SO}(\overline\omega,\mathbb{Z}[\sqrt2]) es discreto y co-compacto en \textrm{SO}(\overline\omega,\mathbb{R}):

La idea es explicar como hacer para sacarse de arriba ese \sqrt2, a priori ni es obvio que \textrm{SO}(\overline\omega,\mathbb{Z}[\sqrt2]) sea discreto… Consideramos \sigma:\mathbb{Q}(\sqrt2)\to\mathbb{Q}(\sqrt2) el morfismo de cuerpos que lleva \sqrt2 en -\sqrt2. Consideramos entonces el grupo

{\displaystyle H_{\mathbb{R}}=\{ \left(\begin{array}{cc} a & 2b \\ b & a\end{array}\right)\in\textrm{GL}(2d,\mathbb{R}): a-\sqrt2 b\in\textrm{SO}(\overline\omega,\mathbb{R})\textrm{ y }a+\sqrt2 b\in\textrm{SO}({\overline\omega}^\sigma,\mathbb{R})\},}

donde {\overline\omega}^\sigma consiste en aplicar \sigma a los coeficientes de \overline\omega. Observamos primero que H_\mathbb{R} preserva el polinomio p:\mathbb{R}^{2d}\to\mathbb{R} dado por

p(u,v)=\overline\omega(u-\sqrt2v){\overline\omega}^\sigma(u+\sqrt2v),

(hacer la cuenta) que tiene coeficientes en \mathbb{Q} porque p^\sigma=p. Ademas, trivialmente p|\mathbb{Q}^d-\{0\}\to\mathbb{Q} no tiene ceros porque \sqrt2 es irracional. Así, el corolario implica que H_\mathbb{R}/H_\mathbb{Z} tiene clausura compacta en \textrm{SL}(2d,\mathbb{R})/\textrm{SL}(2d,\mathbb{Z}). Vamos a asumir que además es cerrado, así obtenemos que H_\mathbb{Z} es discreto y co-compacto en H_\mathbb{R}.

El mapa H_\mathbb{R}\to\textrm{SO}(\overline\omega,\mathbb{R})\times\textrm{SO} ({\overline\omega}^\sigma,\mathbb{R}) dado por

(\begin{smallmatrix} a & 2b \\ b & a\end{smallmatrix})\mapsto (a-\sqrt2b,a+\sqrt2 b)

es un isomorfismo de grupos, cuya restricción a H_\mathbb{Z} da el isomorfismo H_\mathbb{Z}\cong\textrm{SO}(\overline\omega,\mathbb{Z}[\sqrt2])\times\textrm{SO}({\overline\omega}^\sigma,\mathbb{Z}[\sqrt2]).

La magia acá aparece en el hecho que la forma {\overline\omega}^\sigma es definida positiva, es decir, es una norma en \mathbb{R}^d y por lo tanto el grupo \textrm{SO}({\overline\omega}^\sigma,\mathbb{R}) es compacto. Así, la proyección en la primer coordenada de \textrm{SO}(\overline\omega,\mathbb{R})\times\textrm{SO}({\overline\omega}^\sigma,\mathbb{R}) muestra que \textrm{SO}(\overline\omega,\mathbb{Z}[\sqrt2]) es discreto y co-compacto en \textrm{SO}(\overline\omega,\mathbb{R}).

  1. […] prueba de este teorema es parecida a lo que esta en el post este. Sin embargo, la ventaja de esta construcción es que se puede calcular el volumen del […]

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