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Clasificación de superficies simplécticas racionales y regladas parte 1

In Análisis Real y Complejo, Grupos y geometría on Viernes 3, julio, 2015 at 2:59 pm

por Agustín Moreno

En pos de contextualización, este post surgió de una discusión sobre matemática y afines con el sambita, mientras nos partiamos la boca con tremendos churrascos y un vinito en algún bar perdido de Paris. El tipo queria saber para que quiere uno las curvas holomorfas esas de las que tanto se ha oido hablar, definidas nada más y nada menos que por el mismísimo Gromov allá por el ’85 con su tremendo paper. Y ahi me acordé de un teoremaso de McDuff, sobre el cual este divague va a tratar. Todo lo que voy a decir sale de estas notas de mi supervisor, Chris Wendl.

Ya me disculpo por (y de aquí en más dimito responsabilidad por sobre) el coloquialismo, y la falta de formalidad y rigor y que el estimado lector puede encontrar. Proceda bajo su propio riesgo.

Primero, acordate de qué es una variedad simpléctica. Cortito y al pie, es una variedad (de dimensión par) con una 2-forma cerrada y no degenerada. En particular, son todas orientables, y en dimensión dos una forma simpléctica es simplemente una forma de volumen. Una subvariedad es simpléctica si la restricción de la forma simpléctica a dicha subvariedad es también simpléctica, i.e no degenerada.

Si ahora S \subseteq M es una superficie en una 4-variedad orientable, tenemos el pairing de intersección

H_2(M) \times H_2(M) \rightarrow \mathbb{Z}

(A,B) \rightarrow A.B,

que viene dado por dualidad de Poincaré, y que básicamente consiste en contar (con signos que vienen de la orientación) los puntos de intersección de dos superficies transversales que representan cada clase de homología. Recordar que también vale tomar el número de autointersección de una superficie; simplemente perturbala para que quede transversal a si misma y contá las intersecciones. Lee el resto de esta entrada »

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