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Clasificación de superficies simplécticas racionales y regladas parte 1

In Análisis Real y Complejo, Grupos y geometría on Viernes 3, julio, 2015 at 2:59 pm

por Agustín Moreno

En pos de contextualización, este post surgió de una discusión sobre matemática y afines con el sambita, mientras nos partiamos la boca con tremendos churrascos y un vinito en algún bar perdido de Paris. El tipo queria saber para que quiere uno las curvas holomorfas esas de las que tanto se ha oido hablar, definidas nada más y nada menos que por el mismísimo Gromov allá por el ’85 con su tremendo paper. Y ahi me acordé de un teoremaso de McDuff, sobre el cual este divague va a tratar. Todo lo que voy a decir sale de estas notas de mi supervisor, Chris Wendl.

Ya me disculpo por (y de aquí en más dimito responsabilidad por sobre) el coloquialismo, y la falta de formalidad y rigor y que el estimado lector puede encontrar. Proceda bajo su propio riesgo.

Primero, acordate de qué es una variedad simpléctica. Cortito y al pie, es una variedad (de dimensión par) con una 2-forma cerrada y no degenerada. En particular, son todas orientables, y en dimensión dos una forma simpléctica es simplemente una forma de volumen. Una subvariedad es simpléctica si la restricción de la forma simpléctica a dicha subvariedad es también simpléctica, i.e no degenerada.

Si ahora S \subseteq M es una superficie en una 4-variedad orientable, tenemos el pairing de intersección

H_2(M) \times H_2(M) \rightarrow \mathbb{Z}

(A,B) \rightarrow A.B,

que viene dado por dualidad de Poincaré, y que básicamente consiste en contar (con signos que vienen de la orientación) los puntos de intersección de dos superficies transversales que representan cada clase de homología. Recordar que también vale tomar el número de autointersección de una superficie; simplemente perturbala para que quede transversal a si misma y contá las intersecciones. Esto es lo mismo que tomar una sección genérica del fibrado normal N_S de la superficie adentro de la 4-variedad (esto es, transversal a la cero sección), y contar sus ceros. Si sabes algo de clases características, esto no es otra cosa que el número de Chern c_1(N_S) (o bien, la integral sobre S de la clase de Chern c_1(N_S), si sos medio purista) porque justamente en este caso N_S es un fibrado de linea complejo arriba de S.

El caso de interés es S \subseteq (M,\omega) una 2-esfera en una 4-variedad simpléctica que tiene número de autintersección

[S].[S]\geq 0.

Como ejemplo de esto en dimensión 4, tenemos los fibrados simplécticos. Esto es un fibrado \pi: M \rightarrow \Sigma donde \Sigma y las fibras son superficies compactas, orientables y conexas, y estas últimas son subvariedades simplécticas. Como las fibras se pueden empujar afuera de si mismas (elegí una conección y hace fluir la fibra por el flujo de un levantado horizontal de un campo de vectores en la base, si tenés ganas de ser super formal), tienen número de autointersección cero. En el caso de que las fibras tengan género 0, esto se llama una superficie reglada simpléctica (el nombre viene de la geometría algebraica, donde ‘superficie’ debería entenderse en el sentido complejo).

Otro ejemplo, quizá mas familiar, es el caso de \mathbb{C}P^2, con su forma simpléctica estándar \omega_{std} (la métrica de Fubini-Study, que más aún es Kahler). Acordate que la métrica de Fubini-Study se define en general para \mathbb{C}P^n, y resulta de bajar al cociente la forma simpléctica estándar en \mathbb{C}^{n+1} que viene dada por

\omega=\sum_{i=1}^{n+1}dp_i \wedge dq_i,

donde tomamos las coordenadas (z_1,\dots,z_n) \in \mathbb{C}^{n+1} con z_i=p_i + iq_i. La restricción de esta forma a S^{2n+1} es invariante por la acción de S^1, y el núcleo de \omega|_{S^{2n+1}} es justamente las órbitas bajo esta acción (i.e las fibras del fibrado de Hopf), y por lo tanto baja a \mathbb{C}P^n=S^{2n+1}/S^1 como una forma simpléctica.

Para n=2, tenemos la descomposición

\mathbb{C}P^2=\{[z_0:z_1:1]\} \cup \{[z_0:z_1:0]\}=\mathbb{C}^2 \cup \mathbb{C}P^1,

donde el \mathbb{C}P^1 que aparece es la “esfera en el infinito”. Es un hecho estándar que [\mathbb{C}P^1].[\mathbb{C}P^1]=1; si querés ser sofisticado, sale de la estructura de anillo de la cohomología de este espacio, sabiendo que la esfera en el infinito es el dual de Poincaré del generador de H^2(P^2); si te gusta ser más pedestre, es simplemente el enunciado algebraico del principio básico de la vida proyectiva de que “dos lineas en P^2 se intersectan en un único punto” (y ni te digo si están sobrias… purum prshh).

Ahora, para w \in \mathbb{C}, tenés el siguiente mapa

u_w: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^2/\;z \mapsto (z,w),

y fijate que se extiende a un mapa \mathbb{C}P^1= \mathbb{C} \cup \infty \rightarrow \mathbb{C}P^2, ya que metiendo \mathbb{C}^2 en \mathbb{C}P^2 el punto u_w(z) es [z:w:1]=[1:w/z:1/z], que converge al punto en la esfera en el infinito x_0=[1:0:0] cuando z tiende a infinito. Más aún, este mapa es holomorfo, y por lo tanto la colección de mapas u_w te da una foliación por subvariedades complejas de \mathbb{C}P^2/\{x_0\} que se intersectan transversalmente en x_0, todas difeomorfas a esferas (y como todas son homólogas a \mathbb{C}P^1, esto da de nuevo el hecho de que la esfera en infinito tiene autointersección 1). Esto es un caso especial de lo que en geometria algebraica y afines se llama un lápiz de Lefchetz.

Otro caso interesante es el blowup simpléctico. Topológicamente es la misma historia de siempre: agarra un punto en tu variedad, y sustituilo por todas las lineas (complejas) que llegan a el, que no es otra cosa que una copia de \mathbb{C}P^1=S^2. En dimensión 4 el blowup de M es lo mismo que la variedad

M \# \overline{\mathbb{C}P^2},

donde \# es la suma conexa de variedades y la barra indica que tomás la orientación opuesta a la usual. Lo interesante es que si M es simpléctica, el blowup también. La esfera que le metiste se llama el divisor excepcional (otra vez la geometria algebraica), y fijate que tiene fibrado normal identificable con \mathcal{O}_{P^1}(-1) adentro del blowup (esto es el nombre geometra-algebraico cheto para el fibrado tautológico en la 2-esfera; el fibrado complejo de linea que tiene como fibra arriba de un punto [z_0:z_1] de la esfera la linea compleja que el punto determina en \mathbb{C}^2), y entonces el número de Chern de este fibrado es

c_1(\mathcal{O}_{P^1}(-1))=-1

(Sin entrar mucho en detalles, si tenés familiaridad con los fibrados de linea \mathcal{O}_{P^n}(d) arriba de \mathbb{C}P^n, d \in \mathbb{Z}, que satisfacen \mathcal{O}_{P^n}(d)^*=\mathcal{O}_{P^n}(-d), y cuyas secciones consisten en polinomios homogéneos de grado d para d>0, esto lo podés ver observando que c_1(\mathcal{O}(d))=d, para d>0, puesto que todo polinomio genérico de grado d>0 -sin raíces múltiples- tiene d ceros, y del hecho general de que c_1(L^*)=-c_1(L)…)

Lo que importa es que en definitiva el divisor excepcional, E, tiene número de autointersección

E.E=-1.

También vale la operación inversa, el blowdown: Si tenés una esfera con autointersección -1, i.e un divisor excepcional, la podés implotar para obtener una variedad más simple. Lo que lleva a la definición natural de llamar a una variedad minimal si no es el blowup de otra cosa, es decir, si no tiene divisores excepcionales.

Uno dice que una superficie compleja es una superficie racional si se obtiene de \mathbb{C}P^2 por una cantidad finita de blowups o blowdowns (i.e por equivalencia birracional)

En definitiva, vimos un par de ejemplos de 4-variedades simplécticas con esferas con autointersección [S].[S]\geq 0:

  1. Superficias simplécticas regladas, donde la fibra S satisface S.S=0.
  2. (\mathbb{C}P^2,\omega_{std}), donde la esfera en el infinito satisface [\mathbb{C}P^1].[\mathbb{C}P^1]=1. El siguiente resultado (discernido por Gromov y probado por McDuff), dice que, a menos de operaciones triviales de reescalar y blowup, estas son las únicas:

Teorema(McDuff). Sea (M, \omega) una 4-variedad simpléctica, conexa y cerrada que contiene una 2-esfera simplecticamente encajada S \subseteq M con

[S].[S] \geq 0.

Entonces (M, \omega) es ó bien (\mathbb{C}P^2, c\omega_{std}) para alguna constante c > 0, una superficie simpléctica reglada, o un blowup simpléctico de uno de éstos.

Por lo que ya vimos, en realidad en ambos casos tenemos que [S].[S] \in\{0,1\}. De hecho, es un paso en la prueba de que dadas las hipótesis del teorema, siempre podemos encontrar otra esfera satisfaciendo esto.

Observemos además que toda 4-variedad tiene a lo sumo una cantidad finita de divisores excepcionales disjuntos, ya que como el pairing de intersección es no degenerado sobre \mathbb{R}, dicho conjunto de esferas me da un conjunto linealmente independiente en H_2(M;\mathbb{R}), y por lo tanto su cardinal está acotado por el segundo número de Betti de M, b_2(M)=\dim H_2(M;\mathbb{R}).

Dado entonces un conjunto finito de divisores excepcionales disjuntos, uno los puede implotar, y uno puede probar que la variedad que se obtiene es minimal (a priori podria haber divisores excepcionales que vienen de los intersectan al conjunto disjunto maximal, pero esto no pasa). Por lo tanto basta saber que es lo que pasa en el caso minimal. En el caso de 4-variedades minimales, uno tiene una versión más fuerte del teorema anterior:

Teorema. Sea (M,\omega) una 4-variedad simpléctica cerrada, conexa y minimal, que contiene una 2-esfera S \subseteq M encajada simplecticamente, que satisaface [S].[S] \geq 0. Entonces tenemos las siguientes posibilidades:

  1. Si [S].[S] = 0, entonces (M, \omega) admite un simplectomorfismo a una superficie reglada simpléctica donde S se identifica con una fibra.
  2. Si [S].[S] = 1, entonces (M,\omega) es simplectomorfa a (\mathbb{C}P^2,c \omega_{std}) para alguna constante c>0, donde S se identifica con la esfera en el infinito.
  3. Si [S].[S]>1, entonces (M,\omega) es simplectomorfa a uno de los siguientes:
  • (\mathbb{C}P^2,c \omega_{std}), para algún c>0.
  • (S^2 \times S^2, \sigma_1 \oplus \sigma_2) para algún par de formas de área \sigma_1,\sigma_2 en S^2.

De hecho, (S^2 \times S^2, \sigma_1 \oplus \sigma_2) admite esferas simplecticamente encajadas con autointersección mayor que uno: Agarrá un mapa holomorfo f:S^2 \rightarrow S^2 de grado d>0 y toma su gráfico

S=\{(z,f(z)): z \in S^2\} \subseteq S^2 \times S^2.

Esto es una esfera simpléctica en S^2 \times S^2 (una superficie es simpléctica si es la imagen de una curva holomorfa para una estructura casi compleja compatible -como ya veremos, si me acuerdo de escribirlo-, y la estructura compleja i \oplus i es compatible con \sigma_1 \oplus \sigma_2 si las \sigma_i dan la orientación usual en S^2) y representa la clase

[S^2\times \{p\}]+d[\{p\}\times S^2] \in H_2(S^2 \times S^2).

Por lo tanto, como [S^2\times \{p\}].[\{p\}\times S^2]=1 y [S^2\times \{p\}].[S^2\times \{p\} ]=0, se tiene

[S].[S]= ([S^2\times \{p\}]+d[\{p\}\times S^2]).([S^2\times \{p\}]+d[\{p\}\times S^2])=2d>0

Ta, todo muy lindo. ‘Y las curvas holomorfas?’, te oigo preguntar. En definitiva esto venia por ahi. Bueno, son la herramienta super poderosa que se usa en la prueba. Los detalles técnicos se ponen jodidos. Mal. Hay mucho análisis de por medio, y, a grandes rasgos, hay que entender la estructura de los espacios de moduli que surgen de estas curvas. La historia sigue en la parte 2.

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