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Partir el espacio en círculos disjuntos

In Grupos y geometría on Miércoles 6, diciembre, 2017 at 8:20 am

por Pablo Lessa

Hace un tiempo (digamos dos años) estaba leyendo el obituario a Bill Thurston que publicó Notices de la AMS.  En el mismo hay una frase de David Epstein donde cuenta que en 1970 Thurston le dijo  “Puedo partir \mathbb{R}^3 en círculos planares disjuntos” y luego Epstein comenta que 43 años después todavía se preguntaba cómo era posible.

A partir de ahí estuve pensando en el problemita en ratos de charlas aburridas.   Y ante ayer, en una charla aburrida, se me ocurrió una forma de hacerlo (le escribí a Epstein y me dijo que desde que publicó el obituario otro matemático también le había dado una forma de hacerlo).

Proposición: Se puede partir \mathbb{R}^3 en unión disjunta de círculos planares.

Por círculo planar nos referimos a la intersección  de una esfera con un plano.

El puntos de partida de la construcción es la siguiente:

  • En el plano complejo consideramos los círculos con diámetros [0,1],[-1,-2],[2,3],[-3,-4],\ldots.

Propiedad clave:  Cada círculo centrado en 0 intersecta la familia de círculos dados en exáctamente 2 puntos.

Ahora agregamos una dimensión y observamos que cada esfera centrada en 0 en \mathbb{R}^3 intersecta a esta familia de círculos en exáctamente 2 puntos.

La construcción se completa con la siguiente observación:

Lema: Una esfera menos dos de sus puntos en \mathbb{R}^3 se puede partir en unión de círculos planares disjuntos.

Aplicando el lema a cada esfera centrada en el origen se completa la partición de \mathbb{R}^3 en círculos planares disjuntos.

La demostración del lema consiste en cortar la esfera con una familia de planos que interpolan entre los planos tangentes en los dos puntos que faltan.  En el caso donde los puntos faltantes son antípodas se pueden tomar planos paralelos.  Si los puntos faltantes no son antípodas los planos tangentes en esos puntos se intersectan en una recta y se puede considerar la familia de planos que contienen esa recta.

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