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Partir el espacio en círculos disjuntos

In Grupos y geometría on Miércoles 6, diciembre, 2017 at 8:20 am

por Pablo Lessa

Hace un tiempo (digamos dos años) estaba leyendo el obituario a Bill Thurston que publicó Notices de la AMS.  En el mismo hay una frase de David Epstein donde cuenta que en 1970 Thurston le dijo  “Puedo partir \mathbb{R}^3 en círculos planares disjuntos” y luego Epstein comenta que 43 años después todavía se preguntaba cómo era posible.

A partir de ahí estuve pensando en el problemita en ratos de charlas aburridas.   Y ante ayer, en una charla aburrida, se me ocurrió una forma de hacerlo (le escribí a Epstein y me dijo que desde que publicó el obituario otro matemático también le había dado una forma de hacerlo).

Proposición: Se puede partir \mathbb{R}^3 en unión disjunta de círculos planares.

Por círculo planar nos referimos a la intersección  de una esfera con un plano.

El puntos de partida de la construcción es la siguiente:

  • En el plano complejo consideramos los círculos con diámetros [0,1],[-1,-2],[2,3],[-3,-4],\ldots.

Propiedad clave:  Cada círculo centrado en 0 intersecta la familia de círculos dados en exáctamente 2 puntos.

Ahora agregamos una dimensión y observamos que cada esfera centrada en 0 en \mathbb{R}^3 intersecta a esta familia de círculos en exáctamente 2 puntos.

La construcción se completa con la siguiente observación:

Lema: Una esfera menos dos de sus puntos en \mathbb{R}^3 se puede partir en unión de círculos planares disjuntos.

Aplicando el lemma a cada esfera centrada en el origen se completa la partición de \mathbb{R}^3 en círculos planares disjuntos.

La demostración del lemma consiste en cortar la esfera con una familia de planos que interpolan entre los planos tangentes en los dos puntos que faltan.  En el caso donde los puntos faltantes son antípodas se pueden tomar planos paralelos.  Si los puntos faltantes no son antípodas los planos tangentes en esos puntos se intersectan en una recta y se puede considerar la familia de planos que contienen esa recta.

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Recurrencia de grafos con crecimiento cuadrático

In Probabilidad y Estadística on Jueves 16, noviembre, 2017 at 8:05 am

por Pablo Lessa

Consideremos un grafo conexo con aristas no orientadas y un número finito de aristas saliendo de cada vértice. Fijemos un vértice o en el grafo y consideremos una caminata simple, es decir una sucesión de vértices al azar x_0,x_1,\ldots con x_0 = o y donde en cada paso x_{n+1} se elige al azar entre los vecinos de x_n (cada vecino tiene la misma probabilidad y todas las elecciones son independientes entre sí).

Una caminata de este tipo es recurrente, si casi seguramente (i.e. con probabilidad 1) pasará por cada vértice del grafo infinitas veces.

Definamos un conjunto de corte como un conjunto finito de aristas tales que cualquier camino partiendo de o y que recorre un número infinito de vértices diferentes debe contener alguna arista del conjunto.

El siguiente criterio da una condición suficiente para la recurrencia de un grafo.

Teorema [Criterio de Nash-Williams]:
Si un grafo admite una familia de conjuntos de corte disjuntos A_1,A_2,\ldots tal que
\sum\limits_{k = 1}^{+\infty}|A_k|^{-1} = +\infty
entonces la caminata simple en el grafo es recurrente.

Un ejemplo consiste en considerar como grafo \mathbb{Z}^2 donde cada vértice tiene 4 vecinos como es usual (dos en horizontal y dos en vertical). Es fácil construir una sucesión de conjuntos de corte donde |A_k| es de orden k y por lo tanto el criterio Nash-Williams implica que la caminata simple es recurrente. Lee el resto de esta entrada »

Notas de Caminatas al azar

In Uncategorized on Miércoles 24, junio, 2015 at 6:20 pm

por Pablo Lessa

Hace poco tuve la suerte de dar un cursito en una escuela para estudiantes de grado en la universidad Notre Dame (Indiana, EEUU).  Escribo este artículo para divulgar las notas (en inglés) que preparé para el curso que están disponibles acá.  Aprovecho también para dar una idea de que se trató el asunto.

Comenzamos con el Teorema de Pòlya que dice que una caminata al azar simple en \mathbb{Z}^2 es recurrente (i.e. con probabilidad 1 visitará cada vértice infinitas) mientras que en \mathbb{Z}^3 no lo es (con probabilidad 1 eventualmente escapa cualquier conjunto finito de vértices para nunca regresar).

Las caminatas al azar simples son el ejemplo más sencillo de proceso aleatorio en un grafo infinito.  Formalmente se define una caminata al azar simple como una sucesión de vértices al azar x_0,x_1,\ldots tales que x_{n+1} se construye a partir de x_n eligiendo un vecino al azar (todos los vecinos son equiprobables y todas las elecciones son independientes).  La idea es que es una trayectoria al azar “continua” pero sin memoria ni “inteligencia” (un borracho en un grafo básicamente).

La idea del curso fué discutir la pregunta más básica sobre caminatas al azar que es: ¿En cuáles grafos infinitos la caminata al azar simple es recurrente?

Hicimos esto enfocándonos en dos familias de ejemplos:  grafos de Cayley de grupos discretos, y árboles.

Los grafos de Cayley son ejemplos de grafos “homogéneos” en el sentido que son iguales en todos lados (formalmente diríamos que es posible enviar un vértice a cualquier otro con un isomorfismo del grafo).  Se definen como sigue:  el grafo de Cayley de un grupo discreto G respecto a un generador finito y simétrico F tiene como conjunto de vértices el conjunto G y una arista une dos vértices x,y \in G si y sólamente si x = yg para algún g \in F.

Una primer pregunta es: ¿La recurrencia de un grafo de Cayley es una propiedad del grupo o puede depender del generador finito simétrico elegido?

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Dibujos Hiperbólicos

In Uncategorized on Miércoles 22, abril, 2015 at 4:14 pm

por Pablo Lessa

Agrego esta pequeña entrada para anunciar que estoy haciendo un programita cuyo objetivo es ayudar a generar figuras de cosas en el disco de Poincaré para incluir en archivos LaTex.  El programa es aún muy rudimentario pero ya funciona.   Me interesa recibir sugerencias o comentarios si algún valiente esta dispuesto a intentar usarlo. A modo de ejemplo, con la versión actual generé las siguientes figuras (en formatos png, pdf, y eps): test3 test4 test5 Para usar el programa se necesitan las siguientes 3 cosas (además de LaTex): Lee el resto de esta entrada »

Matemática en un minuto: PageRank

In Uncategorized on Domingo 22, septiembre, 2013 at 5:44 pm

Junto con Elbio Castro (dibujante) creamos hace tiempo este video que explica la idea detrás de PageRank.  Dado que Manolo Oleis ahora tiene cuenta Google me parece un buen momento para redifundirlo.

Aprovecho también para plantear la pregunta a los amigos de Coloquio Oleis: ¿Qué otros temas podría ser interesante tratar en videos similares a este?

¡Salute!

Regularidad de funciones armónicas y Teorema de Liouville

In Análisis Real y Complejo on Domingo 30, diciembre, 2012 at 10:41 am

por Pablo Lessa

Motivado por esta pregunta en mathoverflow voy a explorar un camino hacia la demostración del Teorema de Liouville (toda función armónica y acotada en \mathbb{R}^d es constante) y la regularidad de funciones armónicas (toda función armónica en \mathbb{R}^d es de clase C^{\infty}).

El camino se basa en usar la propiedad del valor medio como definición de función armónica.  A partir de ahí podemos estimar la diferencia del valor de la función en dos puntos a partir de la differencia simétrica de dos bolas en \mathbb{R}^d.

El Teorema de Liouville sigue de la observación que el volúmen de la differencia simétrica es pequeña con respecto al volúmen de cada bola si el radio es grande.  La regularidad viene de la observación que para un radio fijo dicho volúmen está acotado por una función lineal de la distancia entre los centros cuando esta distancia es pequeña.

Técnicamente esto nos permite mostrar que las funciones armónicas son Lipschitz.  Usamos el Teorema de Rademacher y la observación de que las derivadas parciales también son armónicas para concluir que toda función armónica es de clase C^\infty.

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Clasificacion de las 1-variedades

In Grupos y geometría, Topología on Domingo 10, abril, 2011 at 2:33 am

por Pablo Lessa

En esta pequeña nota quiero dar una prueba de la clasificación de las variedades diferenciables de dimensión 1.

La otra demostración que conozco (e.g. en el libro de Milnor) utiliza que la variedad puede partirse en piezas que son segmentos parametrizados por longitud de arco, y luego analiza combinatoriamente como se pegan estas piezas llegando a los dos casos:  O se cierran y la variedad es un círculo, o no y la variedad es un intervalo.  Una demostración similar puede llevarse a cabo para variedades topológicas de dimensión 1 y además la demostración captura la escencia de porqué es verdad el resultado.  Cabe preguntarse entonces: ¿Porqué molestarse en dar otra demostración?

Creo que el mérito de la siguiente demostración es que, a pesar de no ser elemental, sólamente utiliza herramientas que son utiles para muchas otras cosas.  Sin más preambulos acá va la demostración.

Teorema: Toda variedad diferenciable conexa de dimensión 1 es difeomorfa a un intervalo o a \mathbb{R}/\mathbb{Z}.

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¿Que es un Hamiltoniano?

In Física, Sistemas Dinámicos on Domingo 31, octubre, 2010 at 3:55 pm

por Pablo Lessa

Voy a escribir sobre cosas de las cuales no sé mucho (mi motivación, en parte, es entender la formulación Hamiltoniana del flujo geodésico).  Espero que resulte de interés para el resto del coloquooleis.

Otra introducción a la dinámica Hamiltoniana puede encontrarse en este artículo de scholarpedia.  También por lo que he visto puedo recomendar las notas de John Baez (y su, ya clásico, this weeks finds in theoretical physics) y lo que parece ser la biblia para matemáticos tratando de entender estos asuntos: el libro de Abraham y Marsden.

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Convergencia de funciones y medidas.

In Análisis Real y Complejo, Probabilidad y Estadística on Lunes 19, julio, 2010 at 7:03 pm

por Pablo Lessa

Quiero escribir un poco sobre la relación entre convergencia puntual de funciones medibles y convergencia débil de medidas de probabilidad en el contexto de espacios métricos completos y separables.

Para simplificar la discusión voy a tomar como espacio de probabilidad \mathbb{R} con la \sigma-álgebra de Borel (i.e. la generada por los abiertos).   Vamos a considerar diferentes medidas de probabilidad en este espacio pero utilizaremos \lambda para denotar la medida de Lebesgue restringida al intervalo [0,1] (i.e. la distribución uniforme en [0,1]).

Posiblemente el primer punto interesante de la teoría de la medida es que los limites puntuales de funciones medibles también son medibles.  Esto es una mejora sobre la teoría de integración Riemann en la cual, por ejemplo, existen funciones derivables cuya derivada no es integrable.

Teorema. Si f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R} es Borel-medible para todo n y existe f = \lim_{n \to +\infty}f_n entonces f es Borel-medible.

Demostración. Todo abierto A se puede escribir como unión creciente y numerable de abiertos A_k cuya clausura está contenida en A.   Una vez hecho esto se ve que f(x) = \lim_n f_n(x) \in A si y sólamente si existe k tal que a partir de cierto n_0 se cumple que f_n(x) \in A_k para todo n \ge n_0.  Esto implica que f^{-1}(A) se puede escribir con uniones e intersecciones numerables a partir de los f_n^{-1}(A_k) que son medibles.  Explícitamente se obtiene:

f^{-1}(A) = \bigcup_k \bigcup_{n_0} \bigcap_{n \ge n_0} f_n^{-1}(A_k)

\Box

Si f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} es medible, y consideramos en \mathbb{R} la medida de probabilidad \lambda, entonces f da origen a una nueva medida de probabilidad f_*\lambda llamada la medida “push-forward” o la distribución de f.   Esta medida se define a traves de la ecuación:

f_*\lambda(A) = \lambda(f^{-1}(A))

Para sucesiones de funciones convergentes. ¿Cual es la relación entre las distribuciones de la sucesión y la de su límite?

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Una conjetura de escape hiperbólico

In Grupos y geometría, Probabilidad y Estadística, Sistemas Dinámicos on Lunes 17, mayo, 2010 at 12:04 pm

por Pablo Lessa

Voy a presentarles una idea que tengo para un teorema en sistemas dinámicos.  La idea es conseguir un análogo a algunas cosas que pasan en paseos al azar en “espacios grandes”.   Obviamente, además del hecho de que lo que digo va estar por necesidad “mal formulado”, también hay una gran chance de que directactamente la idea sea mala, o algunas de las cosas que digo esten mal.  Por eso mismo me parece interesante discutirla con el resto del coloquiooleis, si estan interesados.

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