Los seguidores de Manolo

Archivo del autor

Conjuntos ambiente homogeneos

In Grupos y geometría, Topología on Lunes 17, febrero, 2014 at 8:54 pm

por Rafael Potrie

El objetivo de este post es presentar un resultado que por mucho tiempo me resultó bastante misterioso pero que es sencillo y bastante lindo. Es una caracterización de las subvariedades encajadas a través de propiedades locales de sus encajes.

Para mantener la discusión simple (sin perder generalidad) trabajaremos en \mathbb{R}^d. Es fácil ver, dado que todos los argumentos y definiciones son locales, que esto se extiende de forma directa a variedades diferenciables en general.

Sea \Lambda \subset \mathbb{R}^d un conjunto localmente compacto. Decimos que \Lambda es C^1ambiente homogeneo si se cumple que para todo par de puntos x, y \in \Lambda existen entornos U_x y U_y en \mathbb{R}^d de ellos y un difeomorfismo \varphi: U_x \to U_y de clase C^1  que manda x en y y cumple que \varphi(U_x \cap \Lambda)= U_y \cap \Lambda.

Probaremos un resultado debido a Repovs. Skopenkov y Scepin que afirma que un conjunto C^1-ambiente homogeneo es una subvariedad C^1 encajada en \mathbb{R}^d. Notar que es un ejercicio sencillo mostrar que las sub-variedades encajadas de clase C^1 son efectivamente C^1-ambiente homogeneas. No veremos muchas aplicaciones, referimos al  lector por ejemplo a este paper de Amie Wilkinson que utiliza este resultado y da una prueba del caso C^r. Si mencionamos que este resultado tiene como consecuencia directa que los subgrupos cerrados de un grupo de Lie son grupos de Lie.

Es un ejercicio interesante mostrar que el conjunto de Cantor puede ser encajado en \mathbb{R}^2 de forma tal de ser Lipschitz ambiente homogéneo. Otro interesante ejercicio es mostrar el resultado para el caso de subconjuntos C^0-ambiente homogeneos de \mathbb{R}.

Lee el resto de esta entrada »

Anuncios

Prescribiendo las derivadas de una función.

In Análisis Real y Complejo on Domingo 8, diciembre, 2013 at 11:44 am

por Rafael Potrie

En este post voy a comentar sobre la siguiente pregunta: Dado a_n una sucesión de reales, será que existe f, una función C^\infty de \mathbb{R} que verifica que la derivada n-ésima de f en 0 es igual a a_n?

Claramente, la respuesta es bien conocida en el caso que se busque que la función f sea analítica y la palabra clave para esto es radio de convergencia. Mi objetivo era saber si existía una obstrucción (posiblemente más débil) en el caso C^\infty. Luego de preguntar a varias personas, finalmente el Rambo me consiguió la referencia adecuada que muestra que no hay ninguna obstrucción: Siempre es posible construir una tal función f. Este post se encargará de dar una prueba de este resultado.

Lee el resto de esta entrada »

4to. Coloquio Uruguayo de Matemática.

In Uncategorized on Sábado 14, septiembre, 2013 at 4:48 pm

4to. Coloquio Uruguayo de Matemática.

Está abierta la web del 4to. Coloquio Uruguayo de Matemática a realizarse los días 18, 19 y 20 de diciembre en el aulario del Faro (Facultad de Ingeniería).  El evento es abierto a todo el mundo y no tiene costo. Son todos bienvenidos al evento y también a hojear la web del Coloquio por más información. 

Conjuntos minimales de difeomorfismos del círculo

In Sistemas Dinámicos on Viernes 13, septiembre, 2013 at 12:38 am

por Rafael Potrie

La idea de este post es entender un par de resultados que me contó Aldo Portela el otro día.  Más información se puede encontrar tanto en su artículo como en este libro de de Melo-van Strien que es un clásico de la dinámica unidimensional.

El objetivo es estudiar difeomorfismos del círculo S^1.  Más precisamente, nos interesaremos por estudiar aquellos difeomorfismos cuyo número de rotación es irracional. Es bien sábido que estos poseen un único conjunto minimal, además, se sabe que dicho conjunto es, o bien todo el círculo (en cuyo caso el difeomorfismo es conjugado a una rotación irracional) o bien un conjunto de Cantor (compacto, totalmente disconexo y sin puntos aislados). El teorema de Denjoy afirma que si el difeomorfismo es de clase C^2 (es decir, su derivada segunda es continua) entonces siempre se da el primer caso.

Por otro lado, es relativamente sencillo demostrar que para cualquier conjunto de Cantor K \subset S^1 y número de rotación \alpha irracional, existe un homeomorfismo f: S^1 \to S^1 cuyo número de rotación es \alpha y para el cual K es el único conjunto minimal de la dinámica. También es posible, aunque un poco más trabajoso, construir ejemplos de difeomorfismos C^1 (e incluso C^{1+\theta} con \theta < 1) que poseen conjuntos de Cantor minimales, sin embargo el conjunto de Cantor no puede ser prescripto apriori, la construcción más conocida requiere condiciones en las longitudes de los intervalos en el complemento. La pregunta que nos proponemos en este post es: ¿Qué conjuntos de Cantor pueden ser el único minimal para un difeomorfismo C^1 del círculo con número de rotación irracional?.

Referimos al lector al libro de de Melo y van Strien (o casi cualquier libro introductorio de sistemas dinámicos) para
una introducción tanto al concepto de número de rotación como a un raconto de esta linda teoría que no reproduciremos aquí
(al menos por ahora).

Lee el resto de esta entrada »

Existencia de conjuntos minimales y el Lema de Zorn.

In Dinámica topológica on Sábado 7, septiembre, 2013 at 5:39 pm

Por Rafael Potrie

Este post tiene dos propósitos. El primero es probar una nueva manera de escribir posts a traves del GmailTex. El otro, es aprovechar que iba a hacer eso para pensar una prueba de algo que siempre supe que era posible pero nunca había pensado la prueba.

El objetivo es el siguiente: Si f: X \to X es un homeomorfismo de un espacio métrico compacto, al estudiar la dinámica de f nos interesamos usualmente por entender sus conjuntos minimales. Esto se debe principalmente a dos cosas, por un lado, la existencia de conjuntos minimales implica que existen puntos recurrentes lo cual siempre es bienvenido cuando se estudia el comportamiento asintótico de un sistema. Por otro lado, se puede pensar en los minimales como “piezas básicas” en las cuales el sistema dinámico se va a descomponer (aunque esto último no siempre es así, ni tan simple como sólo decirlo).
Recuerdo que un conjunto minimal para f es un compacto f -invariante K \subset X no vacío con la propiedad de que todo compacto f– invariante K' \subset K no vacío coincide con K.
Los puntos fijos o las órbitas periódicas son claros ejemplos de conjuntos minimales, pero como es bien sabido, hay dinámicas que no tienen órbitas periódicas (como las rotaciones irracionales en el círculo). Sin embargo, veremos que todo sistema dinámico posee conjuntos minimales.

Algunas variedades que no admiten difeomorfismos de Anosov.

In Sistemas Dinámicos, Topología on Viernes 12, noviembre, 2010 at 8:43 am

por Rafael Potrie

En un post anterior, estudiamos unos trabajos de Franks y Manning acerca de la clasificación de difeomorfismos de Anosov en el Toro \mathbb{T}^d. En particular, vimos que para que dicha variedad admita un Anosov, había ciertas restricciones en la clase de homotopía de dicho difeomorfismo (tenía que ser homotópico a un difeomorfismo de Anosov lineal), esto era consecuencia del Teorema de Indice de Lefschetz.

En este post, voy a mostrar como esa idea puede ser levemente empujada en función de obtener más restricciones en la topología de una variedad que admite un difeomorfismo de Anosov (y en particular, en como tiene que actuar en la homología de la variedad).

Una consecuencia particular del estudio, nos va a dar que:

Teorema 1 La esfera S^d no admite difeomorfismos de Anosov.

Notar que al día de hoy, los unicos difeomorfismos de Anosov conocidos son los que aparecen en infranilvariedades (estos estan clasificados hasta dimensión 8, ver aqui), y se sabe también que en dimensión menor o igual a 3, todos tienen que ser difeomorfismos de Toros y estos son los únicos ejemplos en dichas dimensiones. Se conjetura que todos los difeomorfismos de Anosov deberían ser en infranilvariedades (lo cual implicaría que son conjugados a ejemplos algebraicos) y en particular, deberían ser transivos (pero incluso esto último, es un problema abierto).  El Teorema 1  fue probado en este artículo (creo yo que por primera vez, pero no se).

Lee el resto de esta entrada »

Una versión del Teorema de Sard para mapas de R en R^d.

In Análisis Real y Complejo on Viernes 5, noviembre, 2010 at 3:08 pm

por Rafael Potrie

En algunos post pasados (este y este) estudiamos formas de probar que un mapa de {S^k} en {S^n} con {k<n} siempre podia ser perturbado a un mapa que no fuese sobreyectivo. La pregunta cobra sentido desde el momento que existen mapas continuos del intervalo {[0,1]} en {S^n} que son sobreyectivos para todo {n\geq 1} (ver aquí).

Una de las maneras de lograr esta perturbación, dijimos que era aproximar el mapa por uno diferenciable, ya que en dicho caso, el Teorema de Sard nos garantizaba que para una función suficientemente diferenciable, un mapa de {S^k} en {S^n} con {n<k} no podia ser sobreyectiva. También mencionamos que era un poco fuerte usar ese resultado para probar algo relativamente natural.

En este post, pretendo explicar un Lema que me enseño Martín Sambarino que permite dar una prueba relativamente elemental de este hecho.

Recordamos que una función {f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}} es de variación acotada por {K} si para todos {0=x_0 < x_1 < \ldots < x_k = 1} se tiene que {\sum_{i=1}^k |f(x_i)-f(x_{i-1})| \leq K}. Obviamente, una función diferenciable es de variación acotada (de hecho, su variación es la integral del módulo de su derivada).

Lemma 1 Sea {g=(g_1,g_2): [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2} una función continua tal que cada coordenada es de variación acotada, entonces, la imagen de {g} no contiene ningún abierto.

Lee el resto de esta entrada »

Difeomorfismos de Anosov en el Toro.

In Sistemas Dinámicos, Topología on Martes 3, agosto, 2010 at 3:42 pm

por Rafael Potrie

En este post pienso comentar la demostración (debida a Franks y Manning) de que un difeomorfismo de Anosov de una infranilvariedad (un cociente de una nilvariedad) es de hecho conjugado a un difeomorfismo de Anosov lineal. Por simplicidad, me voy a concentrar en el caso de difeomorfismos de Anosov en toros. Vale la pena observar que todos los ejemplos conocidos de difeomorfismos de Anosov lineales son en infranilvariedades (que incluyen obviamente a los toros).

Intentaré siempre poner links a las definiciones necesarias y resultados utilizados ya que no voy a centrarme en rellenar los prerequisitos, pero no creo que alguien que no este familiarizado con los conceptos que aparezcan pueda seguir la prueba.

Lee el resto de esta entrada »

Grupos fundamentales de variedades y grupos finitamente presentados.

In Grupos y geometría, Topología on Miércoles 28, julio, 2010 at 11:53 am

por Rafael Potrie

Me gustaría en este post discutir un poco la relación entre grupos y variedades para mostrar un poco como a veces cosas que parecen ejemplos de una estructura abstracta, en realidad la contienen. Un buen ejemplo, son los grupos de simetrías de espacios finitos, que de hecho contienen absolutamente todos los posibles grupos finitos (y de esa manera, nos permite comprender los grupos desde un punto de vista más geométrico).

En este post, voy a ver la relación entre los grupos finitamente presentados y los grupos fundamentales de variedades. Vamos a mostrar que un grupo es finitamente presentado si y solamente si es el grupo fundamental de una variedad. De hecho, mostraremos esto para {4-}variedades (pero es válido para variedades de cualquier dimensión mayor o igual a {4}).

Antes de empezar, mismo antes de definir grupo finitamente presentado, voy a dar un argumento (rápido) de porque en dimensiones dos y tres esto no es posible. Lo único a decir sobre los grupos finitamente presentados, es que naturalmente, los grupos finitos lo son.

En dimensión dos, tenemos bien definida una lista de variedades, con lo cual es fácil ver que grupos como {\mathbb{Z}_3} no son grupo fundamental de ninguna superficie.

En dimensión tres, argumentos parecidos pueden ser hechos, uno rápido es tener en cuenta que toda {3}-variedad con grupo fundamental finito tiene que ser cubierta por la {3}-esfera (esto lo sabemos gracias a que recientemente la conjetura de Poincare en dimensión {3} fue demostrada) y se sabe que no todo grupo finito puede actuar libre y discontinuamente en la {3}-esfera (esto hay que chequearlo, pero a mi al menos me resulta suficientemente convincente).

Lee el resto de esta entrada »

El conjunto no errante para iterados de una dinámica.

In Dinámica topológica, Sistemas Dinámicos on Viernes 2, julio, 2010 at 2:30 pm

por Rafael Potrie

En general, en sistemas dinámicos nos interesa estudiar el comportamiento asintótico de una transformación del espacio. Por lo tanto, es razonable esperar en general que los conceptos que estudiamos no dependerán de si estamos estudiando una dinámica f o un iterado de esta, digamos f^m.

Claramente, el conjunto de puntos periódicos de f coincide con el de f^m, sin embargo, el conjunto de puntos fijos difiere en ambos casos si existen orbitas periódicas de f cuyo período es mayor que uno y divide a m.

El objetivo de este post es estudiar el conjunto no errante y probar que si este es todo el espacio, entonces lo será también para todos los iterados de f.

Lee el resto de esta entrada »