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Archive for the ‘Álgebra Lineal’ Category

Octoniones escindidos

In Álgebra, Álgebra Lineal on Jueves 4, diciembre, 2014 at 12:56 pm

por Andrés Sambarino

En un intento por entender los grupos de Lie excepcionales me crucé con un resultado sobre álgebras compuestas. Si k es un cuerpo y A un álgebra con unidad sobre k, decimos que A es compuesta si existe una forma cuadrática no degenerada q:A\to k que respeta el producto, es decir q(xy)=q(x)q(y).

El enunciado que quiero contar es el siguiente:

Teorema [Hurwitz-Jacobson]. Sea A un álgebra compuesta, entonces \dim_k A=1,2,4 ou 8.

Además, si \dim A=2 entonces A es conmutativa y asociativa, si \dim A=4 es asociativa pero no conmutativa, si \dim A=8 entonces no es ni conmutativa ni asociativa.

Es interesante comparar esto con algunos resultados mas conocidos, por ej el Teorema de Stiefel: si \mathbb{R}^n tiene una estructura de álgebra sin divisores de cero, entonces n=1,2,4 ou 8. Lee el resto de esta entrada »

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Un grupo Zariski denso contiene una matriz diagonalizable

In Álgebra Lineal, Grupos y geometría on Lunes 9, agosto, 2010 at 9:26 am

por Andrés Sambarino

En el artículo sobre conjunto límite de subgrupos de {SL(d,{\mathbb R})} (este artículo) usamos un teorema de Benoist que enunciaba lo siguiente:

Teorema[Benoist]. Sea {\Gamma} un grupo Zariski denso de {SL(d,{\mathbb R})} entonces {{\Gamma}} contiene un elemento {{\gamma}} diagonalizable cuyos valores propios son positivos y distintos dos a dos.

La idea de este texto es entonces mostrar que para un grupo {{\Gamma}} Zariski denso de {SL(d,{\mathbb R})} es facil encontrar una matriz {{\gamma}\in{\Gamma}} diagonalizable cuyos valores propios sean todos distintos. O sea, el hecho de conseguirlos positivos es la parte más dificil del teorema de Benoist.

Utilizamos la siguiente definicion de densidad de Zariski:

Definición. Un conjunto {{\Gamma}} de {SL(d,{\mathbb R})} es Zariski denso si todo polinomio {p:SL(d,{\mathbb R})\rightarrow{\mathbb R}} que es nulo en {{\Gamma}} es necesariamente nulo en {SL(d,{\mathbb R}).}

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Una dicotomía entre hiperbolicidad y dinámicas salvajes.

In Álgebra Lineal, Dinámica genérica on Viernes 18, junio, 2010 at 4:19 pm

por Rafael Potrie

En este post me gustaría contar un resultado debido a Mañe y dar indicaciones sobre su prueba que me resulta muy linda.

Antes, necesito introducir un par de conceptos, por simplicidad, voy a hacer todo en superficies. Sea {f\in Diff^1(M)} un difeomorfismo de una superficie {M}.

Decimos que un conjunto compacto invariante {\Lambda} es hiperbólico si para todo punto {x\in \Lambda}, tenemos una descomposición {T_xM = E^s_x \oplus E^u_x} de su espacio tangente y esta descomposición verifica las siguientes propiedades:

  • {Df_x(E^\sigma_x) = E^\sigma_{f(x)}} para todo {x\in \Lambda} y {\sigma= s,u}.
  • Existe un valor {N>0} tal que {\|Df^N_x|_{E^s(x)}\| < \frac 1 2} y {\|Df^{-N}_x|_{E^u_x}\|< \frac 1 2} para todo {x\in \Lambda}.

Un ejercicio interesante es mostrar que la definición implica que los fibrados {E^s_x} y {E^u_x} varían continuamente, en particular, la dimensión de dichos fibrados es localmente constante (y se puede extender a la clausura).

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Restricciones topológicas a hiperbolicidad de cociclos.

In Álgebra Lineal, Sistemas Dinámicos on Sábado 27, marzo, 2010 at 11:27 am

por Rafael Potrie

Este articulo se basa en un ejemplo que aparece en unas notas muy interesantes de Avila y Bochi (bajar ver el final de la seccion 2.1).

El contexto es el siguiente, tenemos un sistema dinámico T: X \to X (por simplicidad vamos a suponer T continua y X espacio métrico compacto) y un mapa A: X \to SL(2,\mathbb{R}) (es decir, a cada punto le asociamos una matriz dos por dos de determinante uno), esto nos define la siguiente dinámica.

F: X\times \mathbb{R}^2 \to X \times \mathbb{R}^2 con F(x,v)=(Tx, A(x)v).

Al par (T,A) (que define la dinámica F) le llamamos cociclo lineal.

El interes de esto viene por el hecho que es una manera de multiplicar matrices “al azar”, de alguna manera, en función de como se elijan las matrices y en función de la dinámica T que elijamos (un shift, una rotacion irracional, etc). Otra razón por la que esto tiene interés es como forma de estudiar la derivada de un diffeomorfismo (o mapa diferenciable) de una variedad.

Si A_n(x) = A(T^{n-1}(x)) \ldots A(x), usualmente, el objetivo es estudiar el crecimiento de \|A_n(x)\|. En esta nota, voy a presentar una posible obstrucción a que ese valor crezca exponencialmente con tasa uniforme.

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Productos de matrices dos por dos

In Álgebra Lineal on Lunes 22, marzo, 2010 at 7:20 pm

por Rafael Potrie

Si se estudia dinámica diferenciable, al estudiar los puntos periódicos, naturalmente uno se enfrenta al estudio de productos de matrices (asociados a la derivada del difeomorfismo arriba de los puntos de la órbita).

Cuando uno estudia la dinámica permitiéndose hacer perturbaciones, y estas son en la topología C^1, uno se empieza a interesar en como se pueden perturbar esos productos de matrices. Posiblemente algún día escriba sobre eso en particular, por lo pronto, voy a comentar un poco sobre el problema de los productos de matrices, sin interesarme en la dinámica diferenciable.

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Transformaciones Lineales Hiperbólicas

In Álgebra Lineal on Martes 10, noviembre, 2009 at 1:28 am

por Pablo Lessa

Es una boludez total pero me gusta.  En todo el texto V es un espacio vectorial real de dimensión finita y T: V \to V es una tranformación lineal invertible.

Definición (Contracción).

Decimos que T es una contracción si existe un producto interno en V tal que:

\|Tv\| < \|v\|\text{ para todo }v \in V \setminus 0

El ejemplo clásico es la siguiente matriz:

\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}&10^{10^{10}}\\{}0&\frac{1}{2}\end{array}\right)

que define una contracción de \mathbb{R}^2 pero no para el producto interno usual.

Se puede demostrar el siguiente lemita:

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Tetris

In Álgebra Lineal on Lunes 13, julio, 2009 at 12:06 pm

por Pablo Lessa

Definimos el siguiente producto de matrices:

(AB)_{i,j} = \max\{a_{i,k}+b_{k,j}\}

El producto consiste en hacer el producto usual pero cambiando las multiplicaciones por sumas y las sumas por máximos.

Por ejemplo:

\left(\begin{array}{cc}2&2\\1 &1\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{cc}2&1\\2 &1\end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc}\max\{2+2, 2+2\}&\max\{2+1,2+1\}\\\max\{1+2,1+2\} &\max\{1+1,1+1\}\end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc}4&3\\3 &2\end{array}\right)

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Pitágoras y Normas de dimensión mayor

In Álgebra Lineal on Viernes 8, mayo, 2009 at 2:38 pm

por Pablo Lessa

Introducción.

En este artículo se demuestran dos resultados:

  1. Una versión del teorema de pitágoras para áreas k-dimensionales (generalizando el teorema de pitágoras para longitudes de vectores)
  2. Que el máximo estiramiento que produce una transformación lineal sobre el área de un paralelogramo de dimensión k está dada por el producto de los k valores singulares más grandes (generalizando el hecho de que la norma de una transformación, coincide con el máximo valor singular).

En ambos casos la demostración muestra que la generalización, es simplemente un caso particular de lo que está generalizando (i.e. el pitágoras de áreas se deduce del pitágoras común, el resultado para la norma k-dimensional se deduce del resultado para la norma usual).

Para hacer las demostraciones de estos dos hechos a mano, habría que hacer un montón de cuentas y probar una desigualdad que involcraría determinantes.

La demostración que doy evita esto a expensas de tener que construir un formalismo algebraico medio pesado.

Lo bueno es que este formalismo (el producto exterior) sirve para otras cosas (por ejemplo para estudiar las variedades grasmanianas y los espacios de banderas como se discute en este artículo del sambita).

Mi motivación original para tratar de entender todo esto es que estoy estudiando una demostración del teorema de Oseledets que utiliza este formalismo como herramienta.

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Conjunto límite de grupos de matrices

In Álgebra Lineal, Grupos y geometría on Domingo 8, marzo, 2009 at 10:01 am

por Andrés Sambarino

La idea de este artículo es explicar un poco qué es el conjunto límite de un subgrupo discreto del grupo

SL(d,\mathbb R)= matrices d\times d de determinante 1 y coeficientes reales.

Empezamos con álgebra lineal. Si una matriz A de SL(d,\mathbb R) tiene un único valor propio \lambda de módulo más grande y el espacio asociado a este valor propio es de dimensión 1 entonces diremos que la matriz A es proximal. Esta definición viene de que si escribimos

\mathbb R^d=\mathbb R v\oplus W

donde Av=\lambda v y W es A-invariante entonces dado cualquier vector u\notin W, la recta A^n(\mathbb R u) se acerca a la recta \mathbb R v a medida que n\to\infty.

Equivalentemente, si consideramos la acción de A en el espacio proyectivo, \mathbb P(\mathbb R^d)= rectas de \mathbb R^d, entonces A tiene un atractor (la recta \mathbb R v) y su cuenca de atracción es el complemento del compacto \mathbb P(W).

Otra definición.

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