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Archive for the ‘Álgebra’ Category

Construcciones aritméticas parte 2

In Álgebra, Grupos y geometría, Teoría de números on Miércoles 5, agosto, 2015 at 1:15 pm

por Andrés Sambarino

El plan ahora es contar otro tipo de construcción aritmética que da lugar a subgrupos \Gamma de co-volumen finito de \textrm{PSL}(2,\mathbb{R})^\alpha\times\textrm{PSL}(2,\mathbb{C})^\beta, para \alpha,\beta\geq0 (es decir, modulo torsion, variedades de volumen finito modeladas en (\mathbb{H}^2)^\alpha\times(\mathbb{H}^3)^\beta) y sobre el final vamos a enunciar la formula para calcular el co-volumen de \Gamma en términos de las cuestiones aritméticas que aparecen en su construcción.

La construcción empieza por elegir un cuerpo k que sea una extension finita de \mathbb{Q}. Si el numero de morfismos de k en \mathbb{C} se escribe como r+2\beta, donde r son aquellos que caen \mathbb{R} (y el 2 es para no contar uno y su conjugado), entonces vamos a explicar la idea de como construir un subgrupo de co-volumen finito de \textrm{PSL}(2,\mathbb{R})^\alpha\times\textrm{PSL}(2,\mathbb{C})^\beta para 0\leq \alpha\leq r. Así, el cuerpo \mathbb{Q}(\sqrt{-1}) da lugar a 3-variedades hiperbólicas de volumen finito, el cuerpo \mathbb{Q}(\sqrt2) da lugar a superficies hiperbólicas de area finita y el cuerpo \mathbb{Q}(\sqrt[3]2) da lugar a variedades de volumen finito modeladas en \mathbb{H}^2\times\mathbb{H}^3 que no son un producto.

Esta historia nace en el paper de Borel, lo que vamos a contar acá se encuentra en el libro de Maclachlan-Ried.

El asunto viene con las álgebras de cuaterniones: si k es un cuerpo y a,b\in k^*=k-\{0\} definimos el álgebra de cuaterniones H=H/k=H_{(a,b)/k} sobre k, como el espacio vectorial sobre k generado por \{1,i,j,ij\} con las relaciones de producto

i^2=a\cdot 1=a,\ j^2=b\textrm{ y } ij=-ji. Lee el resto de esta entrada »

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Construcciones aritméticas parte 1

In Álgebra, Grupos y geometría, Teoría de números on Sábado 14, febrero, 2015 at 1:15 pm

por Andrés Sambarino

Me gustaría contar algunas construcciones aritméticas que dan lugar a variedades compactas modeladas en ciertas geometrías (globalmente) simétricas. Toda la info de este post está incluida en estas notas de Yves Benoist.

La construcción que vamos a hacer es un caso particular de un Teorema de Borel y Harish-Chandra y tiene, por ejemplo, la siguiente consecuencia.

Proposición. Sea n un entero positivo, entonces existe una variedad hiperbólica compacta de dimension n.

La primer idea que a uno se le ocurriría para demostrar esto es copiar lo que se hace en dimension dos: considerar poliedros hiperbólicos y pegar adecuadamente las caras; los ángulos formados entre las caras de dimensión mas chica tienen que verificar ciertas condiciones; y si todo va bien se obtiene una variedad hiperbólica compacta.

Resulta que con este método solo se conocen ejemplos concretos hasta dimensión 5 y se sabe que no puede andar en dimensión mas grande que 29 (porqué sera esto…?).

Consideramos en \mathbb{R}^{p+q} la forma cuadrática de signatura (p,q) dada por

\overline\omega(v)=v_1^ 2+\cdots+v_p^2-\sqrt2(v_{p+1}^ 2+\cdots+v_{p+q}^2)

y sea

\textrm{SO}(\overline\omega,\mathbb{R})=\{g\in\textrm{SL}(p+q,\mathbb{R}):\overline\omega\circ g=\overline\omega\}

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Octoniones escindidos

In Álgebra, Álgebra Lineal on Jueves 4, diciembre, 2014 at 12:56 pm

por Andrés Sambarino

En un intento por entender los grupos de Lie excepcionales me crucé con un resultado sobre álgebras compuestas. Si k es un cuerpo y A un álgebra con unidad sobre k, decimos que A es compuesta si existe una forma cuadrática no degenerada q:A\to k que respeta el producto, es decir q(xy)=q(x)q(y).

El enunciado que quiero contar es el siguiente:

Teorema [Hurwitz-Jacobson]. Sea A un álgebra compuesta, entonces \dim_k A=1,2,4 ou 8.

Además, si \dim A=2 entonces A es conmutativa y asociativa, si \dim A=4 es asociativa pero no conmutativa, si \dim A=8 entonces no es ni conmutativa ni asociativa.

Es interesante comparar esto con algunos resultados mas conocidos, por ej el Teorema de Stiefel: si \mathbb{R}^n tiene una estructura de álgebra sin divisores de cero, entonces n=1,2,4 ou 8. Lee el resto de esta entrada »

Álgebras centrales simples

In Álgebra on Miércoles 12, noviembre, 2014 at 4:48 pm

por Bruno Stonek

Consideremos las álgebras (asociativas, con unidad) sobre un cuerpo. Intentemos pensar en qué ejemplos tenemos a mano:

– Álgebras de matrices. Si las tomamos con coeficientes en un cuerpo, o más en general en un anillo con división, estas álgebras resultan simples, i.e. no tienen ideales biláteros propios. Esto no es difícil de ver. La prueba es: ponele que tenés un ideal no trivial. Agarrate un elemento no nulo. Con ese elemento, multiplicándolo a izquierda y a derecha por matrices de la base canónica y normalizando podés conseguir cualquier elemento diagonal de la base canónica. Sumalos todos y tenés entonces la identidad en tu ideal.

– Álgebras de polinomios y sus respectivos cocientes por ideales. Esto es central en geometría algebraica, donde por decir algo el cociente de k[x_1,\dots,x_n] por un ideal primo está dando las funciones que tenemos sobre un cierto espacio geométrico (la variedad afín correspondiente). Esto es una familia muy grande de ejemplos, y el diccionario álgebra-geometría algebraica es una fuente de intuición acerca de propiedades algebraicas abstractas.

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