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Archive for the ‘Análisis Real y Complejo’ Category

Clasificación de superficies simplécticas racionales y regladas parte 1

In Análisis Real y Complejo, Grupos y geometría on Viernes 3, julio, 2015 at 2:59 pm

por Agustín Moreno

En pos de contextualización, este post surgió de una discusión sobre matemática y afines con el sambita, mientras nos partiamos la boca con tremendos churrascos y un vinito en algún bar perdido de Paris. El tipo queria saber para que quiere uno las curvas holomorfas esas de las que tanto se ha oido hablar, definidas nada más y nada menos que por el mismísimo Gromov allá por el ’85 con su tremendo paper. Y ahi me acordé de un teoremaso de McDuff, sobre el cual este divague va a tratar. Todo lo que voy a decir sale de estas notas de mi supervisor, Chris Wendl.

Ya me disculpo por (y de aquí en más dimito responsabilidad por sobre) el coloquialismo, y la falta de formalidad y rigor y que el estimado lector puede encontrar. Proceda bajo su propio riesgo.

Primero, acordate de qué es una variedad simpléctica. Cortito y al pie, es una variedad (de dimensión par) con una 2-forma cerrada y no degenerada. En particular, son todas orientables, y en dimensión dos una forma simpléctica es simplemente una forma de volumen. Una subvariedad es simpléctica si la restricción de la forma simpléctica a dicha subvariedad es también simpléctica, i.e no degenerada.

Si ahora S \subseteq M es una superficie en una 4-variedad orientable, tenemos el pairing de intersección

H_2(M) \times H_2(M) \rightarrow \mathbb{Z}

(A,B) \rightarrow A.B,

que viene dado por dualidad de Poincaré, y que básicamente consiste en contar (con signos que vienen de la orientación) los puntos de intersección de dos superficies transversales que representan cada clase de homología. Recordar que también vale tomar el número de autointersección de una superficie; simplemente perturbala para que quede transversal a si misma y contá las intersecciones. Lee el resto de esta entrada »

Prescribiendo las derivadas de una función.

In Análisis Real y Complejo on Domingo 8, diciembre, 2013 at 11:44 am

por Rafael Potrie

En este post voy a comentar sobre la siguiente pregunta: Dado a_n una sucesión de reales, será que existe f, una función C^\infty de \mathbb{R} que verifica que la derivada n-ésima de f en 0 es igual a a_n?

Claramente, la respuesta es bien conocida en el caso que se busque que la función f sea analítica y la palabra clave para esto es radio de convergencia. Mi objetivo era saber si existía una obstrucción (posiblemente más débil) en el caso C^\infty. Luego de preguntar a varias personas, finalmente el Rambo me consiguió la referencia adecuada que muestra que no hay ninguna obstrucción: Siempre es posible construir una tal función f. Este post se encargará de dar una prueba de este resultado.

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Regularidad de funciones armónicas y Teorema de Liouville

In Análisis Real y Complejo on Domingo 30, diciembre, 2012 at 10:41 am

por Pablo Lessa

Motivado por esta pregunta en mathoverflow voy a explorar un camino hacia la demostración del Teorema de Liouville (toda función armónica y acotada en \mathbb{R}^d es constante) y la regularidad de funciones armónicas (toda función armónica en \mathbb{R}^d es de clase C^{\infty}).

El camino se basa en usar la propiedad del valor medio como definición de función armónica.  A partir de ahí podemos estimar la diferencia del valor de la función en dos puntos a partir de la differencia simétrica de dos bolas en \mathbb{R}^d.

El Teorema de Liouville sigue de la observación que el volúmen de la differencia simétrica es pequeña con respecto al volúmen de cada bola si el radio es grande.  La regularidad viene de la observación que para un radio fijo dicho volúmen está acotado por una función lineal de la distancia entre los centros cuando esta distancia es pequeña.

Técnicamente esto nos permite mostrar que las funciones armónicas son Lipschitz.  Usamos el Teorema de Rademacher y la observación de que las derivadas parciales también son armónicas para concluir que toda función armónica es de clase C^\infty.

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Una versión del Teorema de Sard para mapas de R en R^d.

In Análisis Real y Complejo on Viernes 5, noviembre, 2010 at 3:08 pm

por Rafael Potrie

En algunos post pasados (este y este) estudiamos formas de probar que un mapa de {S^k} en {S^n} con {k<n} siempre podia ser perturbado a un mapa que no fuese sobreyectivo. La pregunta cobra sentido desde el momento que existen mapas continuos del intervalo {[0,1]} en {S^n} que son sobreyectivos para todo {n\geq 1} (ver aquí).

Una de las maneras de lograr esta perturbación, dijimos que era aproximar el mapa por uno diferenciable, ya que en dicho caso, el Teorema de Sard nos garantizaba que para una función suficientemente diferenciable, un mapa de {S^k} en {S^n} con {n<k} no podia ser sobreyectiva. También mencionamos que era un poco fuerte usar ese resultado para probar algo relativamente natural.

En este post, pretendo explicar un Lema que me enseño Martín Sambarino que permite dar una prueba relativamente elemental de este hecho.

Recordamos que una función {f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}} es de variación acotada por {K} si para todos {0=x_0 < x_1 < \ldots < x_k = 1} se tiene que {\sum_{i=1}^k |f(x_i)-f(x_{i-1})| \leq K}. Obviamente, una función diferenciable es de variación acotada (de hecho, su variación es la integral del módulo de su derivada).

Lemma 1 Sea {g=(g_1,g_2): [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2} una función continua tal que cada coordenada es de variación acotada, entonces, la imagen de {g} no contiene ningún abierto.

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Convergencia de funciones y medidas.

In Análisis Real y Complejo, Probabilidad y Estadística on Lunes 19, julio, 2010 at 7:03 pm

por Pablo Lessa

Quiero escribir un poco sobre la relación entre convergencia puntual de funciones medibles y convergencia débil de medidas de probabilidad en el contexto de espacios métricos completos y separables.

Para simplificar la discusión voy a tomar como espacio de probabilidad \mathbb{R} con la \sigma-álgebra de Borel (i.e. la generada por los abiertos).   Vamos a considerar diferentes medidas de probabilidad en este espacio pero utilizaremos \lambda para denotar la medida de Lebesgue restringida al intervalo [0,1] (i.e. la distribución uniforme en [0,1]).

Posiblemente el primer punto interesante de la teoría de la medida es que los limites puntuales de funciones medibles también son medibles.  Esto es una mejora sobre la teoría de integración Riemann en la cual, por ejemplo, existen funciones derivables cuya derivada no es integrable.

Teorema. Si f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R} es Borel-medible para todo n y existe f = \lim_{n \to +\infty}f_n entonces f es Borel-medible.

Demostración. Todo abierto A se puede escribir como unión creciente y numerable de abiertos A_k cuya clausura está contenida en A.   Una vez hecho esto se ve que f(x) = \lim_n f_n(x) \in A si y sólamente si existe k tal que a partir de cierto n_0 se cumple que f_n(x) \in A_k para todo n \ge n_0.  Esto implica que f^{-1}(A) se puede escribir con uniones e intersecciones numerables a partir de los f_n^{-1}(A_k) que son medibles.  Explícitamente se obtiene:

f^{-1}(A) = \bigcup_k \bigcup_{n_0} \bigcap_{n \ge n_0} f_n^{-1}(A_k)

\Box

Si f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} es medible, y consideramos en \mathbb{R} la medida de probabilidad \lambda, entonces f da origen a una nueva medida de probabilidad f_*\lambda llamada la medida “push-forward” o la distribución de f.   Esta medida se define a traves de la ecuación:

f_*\lambda(A) = \lambda(f^{-1}(A))

Para sucesiones de funciones convergentes. ¿Cual es la relación entre las distribuciones de la sucesión y la de su límite?

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Equivalencia de medidas no atómicas en variedades.

In Análisis Real y Complejo, Topología on Miércoles 5, mayo, 2010 at 5:32 am

por Rafael Potrie

La idea es dar una indicación relativamente detallada de la prueba del siguiente teorema debido a Oxtoby y Ulam. Nos basamos en el libro de Alpern y Prasad.

Teorema (Oxtoby-Ulam) Sea \mu una medida de probabilidad de Borel en una variedad X tal que \mu no tiene átomos, asigna medida positiva a todos los abiertos y tal que el borde de X mide cero. Entonces, existe un homeomorfismo  h: X \to X tal que h^\ast \mu es la medida de Lebesgue. Además, si X tiene borde, se puede asumir que h es la identidad en el borde.

Como se puede ver fácilmente, este Teorema está muy relacionado a un Teorema de Moser posteado recientemente que trata el “caso diferenciable”. Sin embargo, este Teorema es un tanto más complejo ya que el Teorema de Moser dice que si tenes una medida absolutamente continua con respecto a Lebesgue (y densidad de clase C^r con r\geq 1) entonces existe un difeomorfismo que transforma la medida en la de Lebesgue. En el caso que tratamos ahora, la medida puede incluso llegar a ser completamente singular con la de Lebesgue, incluso, asignarle medida positiva a conjuntos de dimensión estrictamente menor lo cual hace al resultado un tanto más sorprendente.

Por otro lado, ambos resultados son óptimos, en el sentido de que al mandar la medida de Lebesgue por un homeomorfismo (resp. difeomorfismo) obtenemos una medida positiva en abiertos, sin átomos que da medida nula al borde (resp. una medida con densidad diferenciable).

Otra observación, que fue hecha por el Sambita en otro post anterior es que en el caso de dimensión uno, el resultado es relativamente más fácil (ya que se puede utilizar el orden para definir el homeomorfismo).

Desde ahora, le llamaremos medida OU a una medida \mu en una variedad X a una medida de Borel no atómica que le asigna medida nula al borde de X y tal que todo abierto mide positivo.

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Medidas invariantes y Teorema de Descomposición Ergódica.

In Análisis Real y Complejo, Probabilidad y Estadística, Sistemas Dinámicos on Jueves 29, abril, 2010 at 10:41 am

por Rafael Potrie

Consideremos un homeomorfismo f:X\to X donde X es un espacio métrico compacto. Decimos que una medida de probabilidad \mu en X es f-invariante, si se cumple que \mu(f^{-1}(A))=\mu(A) para todo conjunto medible A.

Estas medidas son generalmente muy útiles para estudiar la dinámica del homeomorfismo como se ver rápidamente al ver los enunciados del Teorema de Recurrencia de Poincare o el Teorema Ergódico de Birkhoff (una prueba de este último bastante simple se encuentra en este link de este mismo blog).

Hay cierto tipo de medidas invariantes que son preferidas, por ser de alguna manera, indescomponibles, estas son llamadas medidas ergódicas y verifican que si A es un conjunto f-invariante, entonces, su medida es cero o uno.

Mediante resultados clasicos de analisis funcional, se puede probar que en general, existen medidas invariantes (para un homeomorfismo de un espacio métrico compacto) e incluso medidas ergódicas. Lo primero, es una consecuencia relativamente directa del Teorema de Banach-Alaoglu, que garantiza que el espacio de medidas de probabilidad es compacto con la topología débil (y por tanto, si se construye una medida “cada vez más invariante”, su límite será invariante) y lo segundo surge del Teorema de Krein-Milman ya que dado que las medidas invariantes forman un convexo compacto, tienen que tener elementos extremales (que serán las medidas ergódicas). Sin embargo, este último teorema, que nos permite aproximar toda medida invariante por combinaciones convexas de medidas ergódicas, no termina de mostrar realmente como es esta descomposición.

El objetivo de esta nota, es presentar un formalismo, el de las particiones medibles y medidas condicionales que permiten dar un sentido a dicha descomposición.

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Espacios de Lebesgue

In Análisis Real y Complejo on Martes 27, abril, 2010 at 8:01 am

por Rafael Potrie

La idea de esta entrada es definir Espacio de Lebesgue (también llamado Espacio Estandar, o Rokhlin-Lebesgue) de manera un tanto topológica y mostrar que si la medida no tiene átomos, eso implica que es isomorfo a un intervalo [0,1] con la medida de Lebesgue usual. Nos basamos en el artículo de Thierry de la Rue “Espaces de Lebesgue” Lecture Notes in Math. 1557.

Sea entonces (X, \mathcal A, \mu) un espacio de probabilidad, donde \mathcal A es una \sigma-álgebra completa para \mu. Decimos que (X,\mathcal A, \mu) es un espacio de Lebesgue si existe una topología \tau Haussdorff y con base numerable en X tal que la completación de los borelianos de \tau es \mathcal A y se verifica que

\forall A \in \mathcal A se tiene que \mu(A) = \sup_{K \subset A} \mu(K) con K compacto para \tau.

Notar que la definición es bastante general, de hecho, probaremos que todo espacio Polaco (i.e. métrico, completo y separable) con una medida de Borel es de hecho un espacio de Lebesgue (en particular, tenemos variedades, espacios de Banach no muy grandes, espacios compactos y Haussdorff, etc).

Si tenemos dos espacios de probabilidad (X,\mathcal A, \mu) y (Y, \mathcal B, \nu), decimos que son isomorfos si existen X_0 \in \mathcal A y Y_0 \in \mathcal B de medida uno y una biyección bimedible h:X_0\to Y_0 tal que h_\ast \mu = \nu (i.e. \mu(h^{-1}(B)) = \nu(B) para todo B\in \mathcal B).

El Teorema bastante sorprendente que queremos probar es el siguiente:

Teorema Sea (X,\mathcal A, \mu) un espacio de probabilidad de Lebesgue sin átomos (i.e. los puntos miden cero). Entonces, (X,\mathcal A, \mu) es isomorfo a ([0,1], \mathcal L, \lambda) donde \lambda es la medida de Lebesgue y \mathcal L es la completación de los borelianos por \lambda.

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Teorema de Komlos

In Análisis Real y Complejo on Martes 7, julio, 2009 at 11:54 pm

por Pablo Lessa

Teorema Falso del lessa

Sea \{f_n: [0,1] \to \mathbb{R}\}_{n \in \mathbb{N}} una sucesión acotada en L^1.  Entonces existe una subsucesión convergente c.t.p.

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El problema de Dirichlet

In Análisis Real y Complejo on Lunes 15, junio, 2009 at 2:23 pm

por Andrés Sambarino

En este artículo me gustaría contar un poco sobre el problema de Dirichlet como herramienta: resolver este problema implica el teorema de uniformización de Riemann y, junto con este, el teorema de Schwartz, que enuncia que una superficie de Riemann homeomorfa a la esfera es biholomorfa a la esfera.

Una función de clase \textrm{C}^2 u:U\to\mathbb R, donde U es un abierto de \mathbb C, es armónica si verifica la siguiente ecuación: Si escribimos

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