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Archive for the ‘Sistemas Dinámicos’ Category

Conjuntos minimales de difeomorfismos del círculo

In Sistemas Dinámicos on Viernes 13, septiembre, 2013 at 12:38 am

por Rafael Potrie

La idea de este post es entender un par de resultados que me contó Aldo Portela el otro día.  Más información se puede encontrar tanto en su artículo como en este libro de de Melo-van Strien que es un clásico de la dinámica unidimensional.

El objetivo es estudiar difeomorfismos del círculo S^1.  Más precisamente, nos interesaremos por estudiar aquellos difeomorfismos cuyo número de rotación es irracional. Es bien sábido que estos poseen un único conjunto minimal, además, se sabe que dicho conjunto es, o bien todo el círculo (en cuyo caso el difeomorfismo es conjugado a una rotación irracional) o bien un conjunto de Cantor (compacto, totalmente disconexo y sin puntos aislados). El teorema de Denjoy afirma que si el difeomorfismo es de clase C^2 (es decir, su derivada segunda es continua) entonces siempre se da el primer caso.

Por otro lado, es relativamente sencillo demostrar que para cualquier conjunto de Cantor K \subset S^1 y número de rotación \alpha irracional, existe un homeomorfismo f: S^1 \to S^1 cuyo número de rotación es \alpha y para el cual K es el único conjunto minimal de la dinámica. También es posible, aunque un poco más trabajoso, construir ejemplos de difeomorfismos C^1 (e incluso C^{1+\theta} con \theta < 1) que poseen conjuntos de Cantor minimales, sin embargo el conjunto de Cantor no puede ser prescripto apriori, la construcción más conocida requiere condiciones en las longitudes de los intervalos en el complemento. La pregunta que nos proponemos en este post es: ¿Qué conjuntos de Cantor pueden ser el único minimal para un difeomorfismo C^1 del círculo con número de rotación irracional?.

Referimos al lector al libro de de Melo y van Strien (o casi cualquier libro introductorio de sistemas dinámicos) para
una introducción tanto al concepto de número de rotación como a un raconto de esta linda teoría que no reproduciremos aquí
(al menos por ahora).

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Existencia de conjuntos minimales y el Lema de Zorn.

In Dinámica topológica on Sábado 7, septiembre, 2013 at 5:39 pm

Por Rafael Potrie

Este post tiene dos propósitos. El primero es probar una nueva manera de escribir posts a traves del GmailTex. El otro, es aprovechar que iba a hacer eso para pensar una prueba de algo que siempre supe que era posible pero nunca había pensado la prueba.

El objetivo es el siguiente: Si f: X \to X es un homeomorfismo de un espacio métrico compacto, al estudiar la dinámica de f nos interesamos usualmente por entender sus conjuntos minimales. Esto se debe principalmente a dos cosas, por un lado, la existencia de conjuntos minimales implica que existen puntos recurrentes lo cual siempre es bienvenido cuando se estudia el comportamiento asintótico de un sistema. Por otro lado, se puede pensar en los minimales como “piezas básicas” en las cuales el sistema dinámico se va a descomponer (aunque esto último no siempre es así, ni tan simple como sólo decirlo).
Recuerdo que un conjunto minimal para f es un compacto f -invariante K \subset X no vacío con la propiedad de que todo compacto f– invariante K' \subset K no vacío coincide con K.
Los puntos fijos o las órbitas periódicas son claros ejemplos de conjuntos minimales, pero como es bien sabido, hay dinámicas que no tienen órbitas periódicas (como las rotaciones irracionales en el círculo). Sin embargo, veremos que todo sistema dinámico posee conjuntos minimales.

Medidas de Gibbs

In Física, Sistemas Dinámicos on Sábado 27, julio, 2013 at 2:42 pm

por Alejandro Passeggi

La idea en este documento es trabajar la motivación de lo que se conoce como medida de Gibbs. Estas son medidas invariantes para sub-shift mixing de tipo finito, que estan asociadas a un potencial (función del espacio a los reales). Las mismas gozan de propiedades interesantes, y son muy útiles en diferentes contextos de sistemas dinámicos, ya que para ciertos potenciales (como el potencial geométrico) son consideradas como las medidas naturales del sistema en cuestión.

Consideramos un sistema termodinámico cerrado X que no intercambia materia, y que esta en contacto con una fuente de temperatura T,valor que se mantiene invariante. Asumimos que el sistema tiene un número fijo de partículas y que la energía total que cada particula puede asumir es un elemento del conjunto \{E_0,\dots,E_{m-1}\}.

Definimos las cantidades p_i,i=0\dots m-1 dadas por la proporción de partículas que tienen energía E_i,i=0\dots m-1 cuando el sistema está en equillibrio termodinámico. Las leyes de la termodinámica predicen que las cantidades p_0,\dots,p_{m-1} tenderan a maximizar la expresión conocida como energía libre de Helmotz

S-\beta E Leer el resto de esta entrada »

Cuando un flujo es una suspensión

In Dinámica topológica, Sistemas Dinámicos on Viernes 11, mayo, 2012 at 8:54 am

por Andrés  Sambarino

Dado un espacio métrico compacto X y un flujo \phi_t:X\to X es natural preguntarse si el flujo tiene subconjuntos donde el mapa de primer retorno es contínuo. Esta idea de Poincaré ayuda a entender la dinámica de un flujo estudiando dinámica discreta. En general, cerca de una órbita periódica hay secciones transversales en el siguiente sentido, dado V “transversal” a la órbita periódica en p, existe U (también transversal y con p\in V) tal que el mapa de primer retorno f:U\to V está bien definido.

El objetivo de este texto es entonces dar una caracterización de Schwartzman, del artículo Asymptotic cycles del ’56, para decidir si un flujo admite una sección transversal global, es decir, si el flujo es una suspensión. La idea de Schwartzman es ver en qué sentido dan vueltas las órbitas y, si todas lo hacen en el mismo, el flujo es necesariamente una suspensión.

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Algunas variedades que no admiten difeomorfismos de Anosov.

In Sistemas Dinámicos, Topología on Viernes 12, noviembre, 2010 at 8:43 am

por Rafael Potrie

En un post anterior, estudiamos unos trabajos de Franks y Manning acerca de la clasificación de difeomorfismos de Anosov en el Toro \mathbb{T}^d. En particular, vimos que para que dicha variedad admita un Anosov, había ciertas restricciones en la clase de homotopía de dicho difeomorfismo (tenía que ser homotópico a un difeomorfismo de Anosov lineal), esto era consecuencia del Teorema de Indice de Lefschetz.

En este post, voy a mostrar como esa idea puede ser levemente empujada en función de obtener más restricciones en la topología de una variedad que admite un difeomorfismo de Anosov (y en particular, en como tiene que actuar en la homología de la variedad).

Una consecuencia particular del estudio, nos va a dar que:

Teorema 1 La esfera S^d no admite difeomorfismos de Anosov.

Notar que al día de hoy, los unicos difeomorfismos de Anosov conocidos son los que aparecen en infranilvariedades (estos estan clasificados hasta dimensión 8, ver aqui), y se sabe también que en dimensión menor o igual a 3, todos tienen que ser difeomorfismos de Toros y estos son los únicos ejemplos en dichas dimensiones. Se conjetura que todos los difeomorfismos de Anosov deberían ser en infranilvariedades (lo cual implicaría que son conjugados a ejemplos algebraicos) y en particular, deberían ser transivos (pero incluso esto último, es un problema abierto).  El Teorema 1  fue probado en este artículo (creo yo que por primera vez, pero no se).

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¿Que es un Hamiltoniano?

In Física, Sistemas Dinámicos on Domingo 31, octubre, 2010 at 3:55 pm

por Pablo Lessa

Voy a escribir sobre cosas de las cuales no sé mucho (mi motivación, en parte, es entender la formulación Hamiltoniana del flujo geodésico).  Espero que resulte de interés para el resto del coloquooleis.

Otra introducción a la dinámica Hamiltoniana puede encontrarse en este artículo de scholarpedia.  También por lo que he visto puedo recomendar las notas de John Baez (y su, ya clásico, this weeks finds in theoretical physics) y lo que parece ser la biblia para matemáticos tratando de entender estos asuntos: el libro de Abraham y Marsden.

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Difeomorfismos de Anosov en el Toro.

In Sistemas Dinámicos, Topología on Martes 3, agosto, 2010 at 3:42 pm

por Rafael Potrie

En este post pienso comentar la demostración (debida a Franks y Manning) de que un difeomorfismo de Anosov de una infranilvariedad (un cociente de una nilvariedad) es de hecho conjugado a un difeomorfismo de Anosov lineal. Por simplicidad, me voy a concentrar en el caso de difeomorfismos de Anosov en toros. Vale la pena observar que todos los ejemplos conocidos de difeomorfismos de Anosov lineales son en infranilvariedades (que incluyen obviamente a los toros).

Intentaré siempre poner links a las definiciones necesarias y resultados utilizados ya que no voy a centrarme en rellenar los prerequisitos, pero no creo que alguien que no este familiarizado con los conceptos que aparezcan pueda seguir la prueba.

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El conjunto no errante para iterados de una dinámica.

In Dinámica topológica, Sistemas Dinámicos on Viernes 2, julio, 2010 at 2:30 pm

por Rafael Potrie

En general, en sistemas dinámicos nos interesa estudiar el comportamiento asintótico de una transformación del espacio. Por lo tanto, es razonable esperar en general que los conceptos que estudiamos no dependerán de si estamos estudiando una dinámica f o un iterado de esta, digamos f^m.

Claramente, el conjunto de puntos periódicos de f coincide con el de f^m, sin embargo, el conjunto de puntos fijos difiere en ambos casos si existen orbitas periódicas de f cuyo período es mayor que uno y divide a m.

El objetivo de este post es estudiar el conjunto no errante y probar que si este es todo el espacio, entonces lo será también para todos los iterados de f.

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Grupos actuando en la recta

In Grupos y geometría, Sistemas Dinámicos on Martes 22, junio, 2010 at 10:15 am

por Andrés Sambarino

Una acción de un grupo {\Gamma} en un espacio topológico {X} es un morfismo de {\Gamma} en el grupo de homeomorfismos de {X,} {\phi:\Gamma\rightarrow\textrm{Homeo}(X),} aunque lo mejor es pensar a {\Gamma} como un grupo de transformaciones de {X.}

Decimos que una acción es libre si {g(x)=x} para algún {x\in X} implica que {g} es la identidad {e} de {\Gamma,} es decir, los elementos de {\Gamma-\{e\}} no tienen puntos fijos en {X.}

El objetivo de este texto es contar una prueba del siguiente teorema de Hölder.

Teorema. (Hölder) Un grupo que actúa libremente en {{\mathbb R}} es abeliano.

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Una dicotomía entre hiperbolicidad y dinámicas salvajes.

In Álgebra Lineal, Dinámica genérica on Viernes 18, junio, 2010 at 4:19 pm

por Rafael Potrie

En este post me gustaría contar un resultado debido a Mañe y dar indicaciones sobre su prueba que me resulta muy linda.

Antes, necesito introducir un par de conceptos, por simplicidad, voy a hacer todo en superficies. Sea {f\in Diff^1(M)} un difeomorfismo de una superficie {M}.

Decimos que un conjunto compacto invariante {\Lambda} es hiperbólico si para todo punto {x\in \Lambda}, tenemos una descomposición {T_xM = E^s_x \oplus E^u_x} de su espacio tangente y esta descomposición verifica las siguientes propiedades:

  • {Df_x(E^\sigma_x) = E^\sigma_{f(x)}} para todo {x\in \Lambda} y {\sigma= s,u}.
  • Existe un valor {N>0} tal que {\|Df^N_x|_{E^s(x)}\| < \frac 1 2} y {\|Df^{-N}_x|_{E^u_x}\|< \frac 1 2} para todo {x\in \Lambda}.

Un ejercicio interesante es mostrar que la definición implica que los fibrados {E^s_x} y {E^u_x} varían continuamente, en particular, la dimensión de dichos fibrados es localmente constante (y se puede extender a la clausura).

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