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Archive for the ‘Teoría de números’ Category

Construcciones aritméticas parte 2

In Álgebra, Grupos y geometría, Teoría de números on Miércoles 5, agosto, 2015 at 1:15 pm

por Andrés Sambarino

El plan ahora es contar otro tipo de construcción aritmética que da lugar a subgrupos \Gamma de co-volumen finito de \textrm{PSL}(2,\mathbb{R})^\alpha\times\textrm{PSL}(2,\mathbb{C})^\beta, para \alpha,\beta\geq0 (es decir, modulo torsion, variedades de volumen finito modeladas en (\mathbb{H}^2)^\alpha\times(\mathbb{H}^3)^\beta) y sobre el final vamos a enunciar la formula para calcular el co-volumen de \Gamma en términos de las cuestiones aritméticas que aparecen en su construcción.

La construcción empieza por elegir un cuerpo k que sea una extension finita de \mathbb{Q}. Si el numero de morfismos de k en \mathbb{C} se escribe como r+2\beta, donde r son aquellos que caen \mathbb{R} (y el 2 es para no contar uno y su conjugado), entonces vamos a explicar la idea de como construir un subgrupo de co-volumen finito de \textrm{PSL}(2,\mathbb{R})^\alpha\times\textrm{PSL}(2,\mathbb{C})^\beta para 0\leq \alpha\leq r. Así, el cuerpo \mathbb{Q}(\sqrt{-1}) da lugar a 3-variedades hiperbólicas de volumen finito, el cuerpo \mathbb{Q}(\sqrt2) da lugar a superficies hiperbólicas de area finita y el cuerpo \mathbb{Q}(\sqrt[3]2) da lugar a variedades de volumen finito modeladas en \mathbb{H}^2\times\mathbb{H}^3 que no son un producto.

Esta historia nace en el paper de Borel, lo que vamos a contar acá se encuentra en el libro de Maclachlan-Ried.

El asunto viene con las álgebras de cuaterniones: si k es un cuerpo y a,b\in k^*=k-\{0\} definimos el álgebra de cuaterniones H=H/k=H_{(a,b)/k} sobre k, como el espacio vectorial sobre k generado por \{1,i,j,ij\} con las relaciones de producto

i^2=a\cdot 1=a,\ j^2=b\textrm{ y } ij=-ji. Lee el resto de esta entrada »

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Construcciones aritméticas parte 1

In Álgebra, Grupos y geometría, Teoría de números on Sábado 14, febrero, 2015 at 1:15 pm

por Andrés Sambarino

Me gustaría contar algunas construcciones aritméticas que dan lugar a variedades compactas modeladas en ciertas geometrías (globalmente) simétricas. Toda la info de este post está incluida en estas notas de Yves Benoist.

La construcción que vamos a hacer es un caso particular de un Teorema de Borel y Harish-Chandra y tiene, por ejemplo, la siguiente consecuencia.

Proposición. Sea n un entero positivo, entonces existe una variedad hiperbólica compacta de dimension n.

La primer idea que a uno se le ocurriría para demostrar esto es copiar lo que se hace en dimension dos: considerar poliedros hiperbólicos y pegar adecuadamente las caras; los ángulos formados entre las caras de dimensión mas chica tienen que verificar ciertas condiciones; y si todo va bien se obtiene una variedad hiperbólica compacta.

Resulta que con este método solo se conocen ejemplos concretos hasta dimensión 5 y se sabe que no puede andar en dimensión mas grande que 29 (porqué sera esto…?).

Consideramos en \mathbb{R}^{p+q} la forma cuadrática de signatura (p,q) dada por

\overline\omega(v)=v_1^ 2+\cdots+v_p^2-\sqrt2(v_{p+1}^ 2+\cdots+v_{p+q}^2)

y sea

\textrm{SO}(\overline\omega,\mathbb{R})=\{g\in\textrm{SL}(p+q,\mathbb{R}):\overline\omega\circ g=\overline\omega\}

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Cómo sacarle la torsión a SL(d,Z)

In Grupos y geometría, Teoría de números on Miércoles 27, agosto, 2014 at 12:18 pm

por Andrés Sambarino

La idea de este texto es explicar cómo hacer para encontrar un subgrupo de indice finito de

\textrm{SL}(d,\mathbb{Z})=\{\textrm{matrices }d\times d\textrm{ con entradas en }\mathbb{Z}\textrm{ y }\det=1\},

que no tenga torsión.

Sea \lambda un entero algebraico, es decir, \lambda es raíz de un polinomio mónico p\in\mathbb{Z}[x]. El conjunto \{p\in\mathbb{Q}[x]: p(\lambda)=0\} es un ideal de \mathbb{Q}[x] y, dado que \mathbb{Q}[x] es un DIP (i.e. todo ideal es generado por un elemento) existe un polinomio p_\lambda\in\mathbb{Z}[x] tal que si p(\lambda)=0 entonces p= p_\lambda\cdot q para algún q\in\mathbb{Z}[x]. El polinomio p_\lambda es único si exigimos que los coeficientes no tengan un divisor común. El grado de \lambda es el grado de p_\lambda.

El primer paso clave es el siguiente:

Lema. Sea g\in\textrm{SL}(d,\mathbb{Z}) un elemento de torsión, entonces sus valores propios son raíces de la unidad, de grado a lo sumo d.

Prueba. Es obvio que los valores propios de g son raíces de la unidad, ya que g^n=\textrm{Id}. Sea \lambda un valor propio de g, y p_\lambda\in\mathbb{Z}[x] el polinomio irreducible sobre \mathbb{Z} asociado a \lambda. El polinomio característico de g tiene a \lambda por raíz y por tanto a p_\lambda por factor, así d\geq k.

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