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Restricciones topológicas a hiperbolicidad de cociclos.

In Álgebra Lineal, Sistemas Dinámicos on Sábado 27, marzo, 2010 at 11:27 am

por Rafael Potrie

Este articulo se basa en un ejemplo que aparece en unas notas muy interesantes de Avila y Bochi (bajar ver el final de la seccion 2.1).

El contexto es el siguiente, tenemos un sistema dinámico T: X \to X (por simplicidad vamos a suponer T continua y X espacio métrico compacto) y un mapa A: X \to SL(2,\mathbb{R}) (es decir, a cada punto le asociamos una matriz dos por dos de determinante uno), esto nos define la siguiente dinámica.

F: X\times \mathbb{R}^2 \to X \times \mathbb{R}^2 con F(x,v)=(Tx, A(x)v).

Al par (T,A) (que define la dinámica F) le llamamos cociclo lineal.

El interes de esto viene por el hecho que es una manera de multiplicar matrices “al azar”, de alguna manera, en función de como se elijan las matrices y en función de la dinámica T que elijamos (un shift, una rotacion irracional, etc). Otra razón por la que esto tiene interés es como forma de estudiar la derivada de un diffeomorfismo (o mapa diferenciable) de una variedad.

Si A_n(x) = A(T^{n-1}(x)) \ldots A(x), usualmente, el objetivo es estudiar el crecimiento de \|A_n(x)\|. En esta nota, voy a presentar una posible obstrucción a que ese valor crezca exponencialmente con tasa uniforme.

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