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Conjunto límite de grupos de matrices

In Álgebra Lineal, Grupos y geometría on Domingo 8, marzo, 2009 at 10:01 am

por Andrés Sambarino

La idea de este artículo es explicar un poco qué es el conjunto límite de un subgrupo discreto del grupo

SL(d,\mathbb R)= matrices d\times d de determinante 1 y coeficientes reales.

Empezamos con álgebra lineal. Si una matriz A de SL(d,\mathbb R) tiene un único valor propio \lambda de módulo más grande y el espacio asociado a este valor propio es de dimensión 1 entonces diremos que la matriz A es proximal. Esta definición viene de que si escribimos

\mathbb R^d=\mathbb R v\oplus W

donde Av=\lambda v y W es A-invariante entonces dado cualquier vector u\notin W, la recta A^n(\mathbb R u) se acerca a la recta \mathbb R v a medida que n\to\infty.

Equivalentemente, si consideramos la acción de A en el espacio proyectivo, \mathbb P(\mathbb R^d)= rectas de \mathbb R^d, entonces A tiene un atractor (la recta \mathbb R v) y su cuenca de atracción es el complemento del compacto \mathbb P(W).

Otra definición.

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