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Posts Tagged ‘grupos lineales’

La geometría de Hilbert de un conjunto estrictamente convexo

In Grupos y geometría on Viernes 21, junio, 2013 at 1:20 pm

por Andrés Sambarino

En este post vamos a hablar un poco de la geometría de Hilbert de un abierto convexo propio de el espacio proyectivo de \mathbb{R}^d,

\mathbb{P}(\mathbb{R}^d)=\{\textrm{rectas de }\mathbb{R}^d\textrm{ por }0\}.

Hay dos surveys que están buenos en este tema, uno es esta exposición de Quint en el seminario Bourbaki, el otro es los primeros capítulos de la tesis de Crampon, que la pueden encontrar acá.

Decimos que un abierto \Omega de \mathbb{P}(\mathbb{R}^d) es convexo si la intersección de \Omega con toda recta afin, es un conjunto conexo. Decimos además que \Omega es un propio, si existe un hiperplano V de \mathbb{P}(\mathbb{R}^d), que no intersecta la clausura de \Omega.

Si \Omega es un abierto convexo propio, podemos definir una distancia en \Omega usando la razón doble. Recordar que la razón doble  (ver este post) entre 4 puntos de la recta se define como

{\displaystyle [x,b,y,a]=\frac{x-b}{x-a}\frac{y-a}{y-b}.}

Así, si x,y son dos puntos de \Omega, consideramos la recta que los une y a,b\in\partial\Omega los puntos de intersección de esta recta con \partial\Omega. Definimos entonces la distancia entre x e y como Lee el resto de esta entrada »

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Otro grupo de Lie que no es un grupo de matrices

In Grupos y geometría on Sábado 9, abril, 2011 at 1:08 pm

por Andrés Sambarino

Este post va en respuesta a la pregunta que hizo el lessa en este post. La idea es explicar, sin muchos detalles, porque el cubrimiento universal del grupo

\textrm{SL}(2,\mathbb R)=\{\textrm{matrices reales }2\times 2\textrm{ con }\det=1\}

no es un subgrupo del grupo matrices invertibles \textrm{GL}(n,\mathbb R).

El hecho fundamental es que todo morfismo \rho:\widetilde{\textrm{SL}(2,\mathbb R)}\to \textrm{GL}(n,\mathbb R) se factoriza a travez de \textrm{SL}(2,\mathbb R). Es decir:

Proposición. Sean \rho:\widetilde{\textrm{SL}(2,\mathbb R)}\to \textrm{GL}(n,\mathbb R) y \pi:\widetilde{\textrm{SL}(2,\mathbb R)}\to \textrm{SL}(2,\mathbb R) la proyección de cubrimiento, entonces existe un único \rho':\textrm{SL}(2,\mathbb R)\to\textrm{GL}(n,\mathbb R) tal que \rho=\rho'\circ \pi.

En particular el morfismo \rho no puede ser inyectivo.

El resto del artículo es para probar esta proposición. Hay dos ingredientes centrales: el primero dice que un morfismo entre álgebras de Lie se extiende a los respectivos grupos de Lie cuando el grupo de salida es simplemente conexo, y el segundo es que el grupo \textrm{SL}(2,\mathbb C) es simplemente conexo.

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Un grupo de Lie que no es un grupo de matrices

In Grupos y geometría on Domingo 30, enero, 2011 at 4:44 pm

por Andrés Sambarino

Como dice el título, la idea del texto es mostrar un grupo de Lie que no se puede ver como un subgrupo de matrices, es decir, no admite un morfismo inyectivo en GL(n,\mathbb R)=\{\textrm{ matrices }n\times n\textrm{ de }\det\neq 0\}.

El ejemplo nace de la siguiente propiedad del grupo de Heisenberg de matrices triangulares superiores con unos en la diagonal:{\displaystyle \textrm{H}=\{\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right):a,b,c\in\mathbb R\}}.

Consideramos la matriz

B=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right),

un cálculo directo muestra que

{\displaystyle e^{tB}=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^nB^n}{n!}=\textrm{id}+tB=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & t \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right).}

Proposición. Sea \rho:	\textrm{H}\to GL(n,\mathbb R) un morfismo tal que \ker \rho contiene un elemento de la forma e^{t_0B} para algún t_0\in\mathbb R entonces todo el grupo \{e^{tB}:t\in\mathbb R\} está contenido en \ker\rho.

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Un criterio para la densidad de Zariski

In Grupos y geometría on Martes 17, agosto, 2010 at 2:47 pm

por Andrés Sambarino

En este texto vamos a mostrar un criterio para determinar si un subgrupo de SL(d,\mathbb R) es Zariski denso. Usando el criterio vamos a ver como se construyen subgrupos de SL(d,\mathbb R) que verifican esta propiedad.

El criterio consiste en estudiar la acción de SL(d,\mathbb R) en su álgebra de Lie

\mathfrak{sl}(d,\mathbb R) = \{\text{matrices }d\times d\text{ de traza }0\}

via conjugación: Para g\in SL(d,\mathbb R) definimos \text{Ad}(g):\mathfrak{sl}(d,\mathbb R)\to \mathfrak{sl}(d,\mathbb R) como

\text{Ad}(g)X=gXg^{-1}.

Proposición[Criterio de densidad de Zariski] Un subgrupo \Gamma de SL(d,\mathbb R) es Zariski denso si y solo si \text{Ad}\Gamma es irreducible en \mathfrak{sl}(d,\mathbb R), es decir, no tiene subespacios invariantes.

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Un grupo Zariski denso contiene una matriz diagonalizable

In Álgebra Lineal, Grupos y geometría on Lunes 9, agosto, 2010 at 9:26 am

por Andrés Sambarino

En el artículo sobre conjunto límite de subgrupos de {SL(d,{\mathbb R})} (este artículo) usamos un teorema de Benoist que enunciaba lo siguiente:

Teorema[Benoist]. Sea {\Gamma} un grupo Zariski denso de {SL(d,{\mathbb R})} entonces {{\Gamma}} contiene un elemento {{\gamma}} diagonalizable cuyos valores propios son positivos y distintos dos a dos.

La idea de este texto es entonces mostrar que para un grupo {{\Gamma}} Zariski denso de {SL(d,{\mathbb R})} es facil encontrar una matriz {{\gamma}\in{\Gamma}} diagonalizable cuyos valores propios sean todos distintos. O sea, el hecho de conseguirlos positivos es la parte más dificil del teorema de Benoist.

Utilizamos la siguiente definicion de densidad de Zariski:

Definición. Un conjunto {{\Gamma}} de {SL(d,{\mathbb R})} es Zariski denso si todo polinomio {p:SL(d,{\mathbb R})\rightarrow{\mathbb R}} que es nulo en {{\Gamma}} es necesariamente nulo en {SL(d,{\mathbb R}).}

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Conjunto límite de grupos de matrices

In Álgebra Lineal, Grupos y geometría on Domingo 8, marzo, 2009 at 10:01 am

por Andrés Sambarino

La idea de este artículo es explicar un poco qué es el conjunto límite de un subgrupo discreto del grupo

SL(d,\mathbb R)= matrices d\times d de determinante 1 y coeficientes reales.

Empezamos con álgebra lineal. Si una matriz A de SL(d,\mathbb R) tiene un único valor propio \lambda de módulo más grande y el espacio asociado a este valor propio es de dimensión 1 entonces diremos que la matriz A es proximal. Esta definición viene de que si escribimos

\mathbb R^d=\mathbb R v\oplus W

donde Av=\lambda v y W es A-invariante entonces dado cualquier vector u\notin W, la recta A^n(\mathbb R u) se acerca a la recta \mathbb R v a medida que n\to\infty.

Equivalentemente, si consideramos la acción de A en el espacio proyectivo, \mathbb P(\mathbb R^d)= rectas de \mathbb R^d, entonces A tiene un atractor (la recta \mathbb R v) y su cuenca de atracción es el complemento del compacto \mathbb P(W).

Otra definición.

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