Exposiciones

Las exposiciones son los lunes (cada 15 días) a las 16.30 horas en el CMAT de la Facultad de Ciencias Montevideo, Uruguay.

Lunes 31 de Octubre 2011:

María Alejandra Rodriguez Hertz (IMERL)

Ergodicidad, transitividad y otras propiedades de mezclado

Un sistema dinámico es básicamente una función $f : X \to X$ que se itera. Nos interesa saber: hacia dónde va la mayoría de los puntos $x$ de $X$ cuando $f$ se itera inﬁnitas veces ?

Para ilustrar esto, podemos usar un ejemplo del libro Matemática… ¿estás ahí? (1) de Adrián Paenza. En su libro, el propone un método probabilístico-dinámico para calcular los peces en una laguna. El método es como sigue:

capturamos 1000 peces
los pintamos de amarillo
los devolvemos a la laguna
esperamos un buen tiempo a que se mezclen
volvemos a capturar 1000 peces
contamos cuántos peces amarillos hay entre los que hemos capturado

Como el explica en su libro, si en la segunda pesca contamos 10 peces amarillos, eso quiere decir que hay un 10 por mil = 1% de peces amarillos en la laguna. Por lo tanto la laguna tiene aproximadamente 100.000 peces. Esto provee de una excelente estimaciín, y muy práctica, siempre y cuando se cumpla un supuesto, que para nosotros en dinámica será igualmente importante: el supuesto es que los peces amarillos se mezclen. En efecto, si los mismos se juntaran en cardumen y se dedicaran a nadar en círculos por el centro de la laguna, no pescaríamos ningún pez amarillo y nunca seríamos capaces de medirlos. Algo similar pasa con los sistemas dinámicos. Analizaremos este y otros ejemplos.

Lunes 17 de Octubre 2011:

Marcelo Lanzilota (IMERL-CMAT)

La función de Igusa-Todorov

La función de Igusa-Todorov fue deﬁnida por estos autores en ”On the ﬁnitistic global dimension conjecture for Artin algebras”, 2002. Este trabajo tiene como objeto atacar la conocida como Conjetura ﬁnitista, problema abierto desde 1960 en el area de Algebra Homológica.

Impulsamos desde entonces a esta función como una nueva y muy interesante medida homológica que generaliza los conceptos de dimensión proyectiva, dimensión inyectiva, dimensión global.

En la charla ofreceremos la deﬁnición, sus propiedades básicas, y un resumen del desarrollo que esta herramienta ha tenido en los ultimos 7 años.

Lunes 3 de Octubre 2011:

Andrés Abella (CMAT)

Grupos cuánticos compactos

Los grupos cuánticos compactos fueron introducidos en 1987 por el físico S. L. Woronowicz con el objetivo de obtener deformaciones de grupos de Lie compactos que le permitieran obtener modelos válidos para la física cuántica. Esto ya había sido hecho con exito pasando de la mecánica clásica a la relativista reemplazando el grupo Galileano por el de Poincaré y observando que las constantes de estructura del algebra de Lie correspondiente al de Poincaré se pueden obtener tan cerca como se quiera de las del Galileano, de forma tal que el caso clásico se obtiene como límite del relativista. Para el caso cuántico el problema es que muchas de sus teorías están basadas en grupos de Lie semisimples y estos no admiten deformaciones del tipo anterior. Por eso se pensó que no podían hacerse deformaciones de estos grupos, pero a Woronowicz se le ocurrió que en vez de deformar el algebra de Lie tangente podía deformar el álgebra de las funciones continuas del grupo a los complejos. Esta álgebra admite una estructura de $C^*$ -álgebra conmutativa y se sabe que estas están en correspondencia uno a uno con los grupos topológicos compactos (teorema de Gelfand-Naimark). Woronowicz encontró que en este contexto (la geometría no conmutativa) era posible encontrar las deformaciones que buscaba.

El objetivo de la charla consiste en explicar las dos ultimas oraciones, repasando la correspondencia de Gelfand-Naimark y viendo cómo se especializa para grupos de Lie, ﬁnalizando con un ejemplo concreto de deformación de un grupo de Lie compacto. No pretendo llegar a nada muy ﬁno o complicado, si no mostrar cómo es esta correspondencia que liga la geometría, el análisis y el álgebra. Los prerrequisitos son nociones elementales de anillos y espacios topológicos.

Lunes 5 de Setiembre 2011:

Andrés Sambarino (Universidad Paris 13)

Curvatura negativa y deformación

Consideramos $\Gamma$ el grupo fundamental de una variedad compacta de curvatura negativa. El objetivo de la charla es ver ejemplos de subgrupos discretos de $\textrm{SL}(d,\mathbb R)$ (el grupo de las matrices de determinante uno) que sean isomorfos a $\Gamma.$ Los ejemplos que veremos se construyen con la siguiente idea: Conseguir una forma «canónica» de meter $\Gamma$ en $\textrm{SL}(d,\mathbb R)$ y considerar deformaciones de esta inclusion $\Gamma\to\textrm{SL}(d,\mathbb R).$ Que estas deformaciones existan es (en algun sentido) particular de los grupos $\Gamma$ : Un teorema de Margulis dice que ciertos subgrupos de $\textrm{SL}(d,\mathbb R)$ son «super-rigidos.»

Lunes 1 de Agosto 2011:

Cecilia Calvo (Universitat Pompeu Fabra)

La visualización y el aprendizaje de las Matemáticas

Más allá del ejemplo aislado de Dieudonné que decidió escribir un libro de geometría sin un solo dibujo, la opinión mayoritaria es que las imágenes nos ayudan a entender las Matemáticas y que su presencia en las clases de Matemáticas es ineludible. Durante esta charla se presentarán ejemplos de como la dimensión visual de las matemáticas interviene en las actividades de enseñanza y aprendizaje: al introducir conceptos, al desarrollar procedimientos, al conjeturar propiedades o al demostrarlas.

Lunes 20 de junio 2011:

Diego Armentano (CMAT)

Complejidad algorítmica y métodos de homotopía

Una buena medida del costo (o complejidad) de un algoritmo es el tiempo que toma la ejecución del mismo. En este sentido, estudiar la compljidad de un algorítmo, o poder saber cuales algoritmos son ”eﬁcientes” o no, son problemas de suma importancia de los cuales se sabe poco y nada. En esta charla empezaremos deﬁniendo conceptos básicos para poder estudiar un problema computacional. Luego nos centraremos en estudiar cierto tipo de algoritmos, asociados a problemas de análisis numérico, denominados métodos homotópicos. El interé s por este tipo de algoritmos radica en que un estudio serio de su complejidad es ”probablemente”, matemáticamente realizable. En la parte ﬁnal de la charla estudiaremos un problema en particular, a saber, el problema de valores propios.

Lunes 6 de junio 2011:

Beatriz Abadie (CMAT)

Toros no conmutativos

Vamos a describir la construcción de los toros no conmutativos bidimensionales y a contar algunos resultados acerca de su topología y geometría no conmutativas.

Lunes 23 de mayo 2011:

Matilde Martínez (IMERL)

Un «atractor« para ecuaciones diferenciales holomorfas

En el estudio de un sistema dinámico, como el que proviene de una ecuación diferencial ordinaria autónoma, es usual considerar sus medidas invariantes. Particularmente interesantes son las medidas que describen el comportamiento de un conjunto de medida le Lebesgue positiva de órbitas. Una ecuación diferencial ordinaria con tiempo complejo no determina un sistema dinámico, pero igualmente nos gustaría dar una noción de cómo se comporta un conjunto ”grande” de soluciones. En esta charla voy a contar cómo una idea muy elemental y aparentemente ingenua nos da una pauta de cómo aplicar en este contexto herramientas clásicas de sistemas dinámicos para formular algunas preguntas, y obtener algunas respuestas.

Lunes 9 de mayo 2011:

Rafael Potrie (CMAT)

Difeomorfismos de Anosov

Los difeomorﬁsmos de Anosov representan no solo un ejemplo fundamental en sistemas dinámicos sino un objeto de estudio en si mismo. Están vinculados y han generado preguntas transversales a varias areas de la matemática. Mi objetivo es introducir estos objetos de la forma más simple posible (en dimensón 2) a través de un ejemplo paradigmático y mostrar algunas de sus propiedades básicas. También dar una deﬁnición general en dimensión 2 y probar algún resultado que incluso en ese contexto no es trivial (cuya prueba es muy linda y bastante ignorada). Si el tiempo lo permite, pienso después hablar de su deﬁnición general, el problema de clasiﬁcación y sus relaciones con otros problemas de la matemática como clasiﬁcación de ciertas algebras de Lie nilpotentes y problemas de foliaciones.

Lunes 4 de abril 2011:

Ana Gonzalez (CMAT)

Teorías Topológicas de Campo de dimensión 2 y Estructuras de Frobenius

Las Teorías Topológicas tienen un reciente desarrollo en la interface entre física y matemática. El interés matemático en ellas viene de la posi-bilidad de poder descubrir nuevos fenómenos o al menos ofrecer una organización eﬁciente de invariantes, tipo los polinomios de Jones o los invariantes de Donaldson de 4-variedades. El interés en física viene del hecho de que, por un lado, admiten una generalización a teorías de cuerdas abiertas y $G$ -teorías, donde $G$ es un grupo ﬁnito, por otro lado, estas teorías proporcionan ejemplos en donde los cálculos son posibles. También ellas muestran el camino a seguir para entender la estructura matemática que está detrás de teorías más realistas.

El objetivo de la charla es dar una descripción, lo más elemental que posible, del siguiente Teorema, que es un resultado central en el contexto de Teorías Topológicas:

Teorema. La categoría de Teorías Topológicas de Campo de dimensión 2 (abreviado 2-TFT), es equivalente a la categoría de álgebras de Frobenius conmutativas de dimensión ﬁnita.

Comenzaremos dando la deﬁnición de álgebras de Frobenius y daremos algunos ejemplos elementales de las mismas. En la segunda parte de la charla daremos una presentación geométrica de la categoría 2-TFT y estudiaremos el funtor que determina la equivalencia entre ambas categorías. Finalizaremos dando un ejemplo de una 2-TFT, la llamada álgebra de Poincaré , cuya estructura de álgebra de Frobenius viene dada por la integración usual en variedades compactas.

Lunes 29 de noviembre 2010:

Ernesto Mordecki (CMAT)

JUEGOS DE DADOS:

PROBABILIDAD , PARADA ÓPTIMA , CONTROL , JUEGOS ESTOCÁSTICOS

Cardano se preguntaba: ¿porqué si al tirar tres dados el 9 y el 10 se obtienen cada uno de 6 formas distintas, se observa mayor probabilidad de obtener un 10? Galileo y el mismo Cardano dan respuesta a este problema.

¿Cuál es el momento optimo para retirarse de una mesa del juego de dados conocido como La Codicia? ¿Cuánto deberá costara el ticket para jugar a ese juego?

Al jugar al Diez Mil (tirando 5 dados en vez de uno) se diversiﬁcan las opciones del jugador. ¿Cuándo conviene detenerse en función de la cantidad de dados a tirar?

Cuando jugamos contra un rival, la elección de la estrategia óptima responde al criterio minimax de la Teoría de Juegos de Von Neumannıen un Juego Secuencial introducida por Shapley. En este contexto sepresenta la solución del juego competitivo de La Codicia, obtenida por F. Crocce en su la tesis de Maestría.

Concluimos con comentarios sobre problemas similares en el contexto de los procesos estocásticos de parámetro continuo, discutiendo también las posibles soluciones del Diez Mil entre dos jugadores.

Lunes 15 de noviembre 2010:

Enrique Lessa (Laboratorio de Evolución Fac. de Ciencias)

DE LA TRAMPA AL COALESCENTE:

variación genética en poblaciones de mamíferos de la Patagonia.

Se presentará un estudio en marcha orientado a detectar señales de la historia de las poblaciones, en particular en relación a los ciclos climáticos del cuaternario (”la era del hielo”), en colecciones de secuencias de ADN. Se presentará una introducción al modelo coalescente estándar y a modelos estructurados en el espacio, y resultados de su aplicación al caso de estudio.

Lunes 18 de octubre 2010:

Walter Ferrer (CMAT)

SOBRE LA OBRA MATEMATICA DE GERHARD HOCHSCHILD

Gerhard Hochschild, 1915, Berlin– 2010, Berkeley, California; es uno de los fundadores del algebra homológica y su obra abarca, entre otros, los siguientes temas: teoría de números, álgebras asociativas, álgebra homológica, teoría de Lie, grupos algebraicos, grupos analíticos, etc. Diversos objetos matemáticos llevan su nombre: la sucesión espectral de Hochschild–Serre, el grupo de Hochschild–Mostow, la cohomología de Hochschild, el teorema de Hochschild–Kostant–Rosenlicht, etc. En esta charla pretendemos dar una visión global de su obra, detallando un poco más los siguientes aspectos: su contribución a la teoría de números, su teoría de homología de algebras asociativas (homología de Hochshchild), su contribución a la teoría de Hopf.

Lunes 27 de setiembre 2010:

Roberto Markarian (IMERL)

Definiendo Caos en matemática y otras ciencias.

Se expondrán y comentarán diversas deﬁniciones y conceptos complementarios de movimientos desordenados. Se darán ejemplos tomados de los temas de investigación del expositor: TEORIA MATEMATICA DE BILLARES, en que se estudian modelos de diversos tipos de choques entre partículas.

Lunes 6 de setiembre 2010:

Gonzalo Tornaría (CMAT)

La armonía de los números primos.

La hipótesis de Riemann

Hilbert, en su famosa presentación en el ICM de Paris de 1900, incluyo la hipótesis de Riemann como uno de los 23 problemas con los que desaﬁó a los matemáticos del siglo XX. Cien años despues, el Instituto Clay de Matemáticas lo coloca como uno de los 7 problemas del milenio, ofreciendo un premio de un millon de dolares. En esta charla haremos una introducción histórica al problema de la distribución de los numeros primos, su relación con los ceros de la funcion zeta de Riemann, y la hipótesis de Riemann.

Hay dos hechos acerca de la distribucion de los numeros primos de los cuales espero convencerlos de una manera tan contundente que quedaran permanentemente grabados en sus corazones. El primero es que, a pesar de su deﬁnicion simple y su papel como componentes basicos de los numeros naturales, los numeros primos estan entre los objetos mas arbitrarios y vulgares estudiados por los matematicos: crecen como malas hierbas entre los numeros naturales, pareciendo obedecer ninguna otra ley que la del azar, y nadie puede predecir donde brotara el siguiente. El segundo hecho es aun mas sorprendente, ya que expresa todo lo contrario: que los numeros primos exhiben una regularidad impresionante, que hay leyes que rigen su comportamiento, y que cumplen estas leyes con precision casi militar.

Don Zagier (1975)