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Construcciones aritméticas parte 2

In Álgebra, Grupos y geometría, Teoría de números on Miércoles 5, agosto, 2015 at 1:15 pm

por Andrés Sambarino

El plan ahora es contar otro tipo de construcción aritmética que da lugar a subgrupos \Gamma de co-volumen finito de \textrm{PSL}(2,\mathbb{R})^\alpha\times\textrm{PSL}(2,\mathbb{C})^\beta, para \alpha,\beta\geq0 (es decir, modulo torsion, variedades de volumen finito modeladas en (\mathbb{H}^2)^\alpha\times(\mathbb{H}^3)^\beta) y sobre el final vamos a enunciar la formula para calcular el co-volumen de \Gamma en términos de las cuestiones aritméticas que aparecen en su construcción.

La construcción empieza por elegir un cuerpo k que sea una extension finita de \mathbb{Q}. Si el numero de morfismos de k en \mathbb{C} se escribe como r+2\beta, donde r son aquellos que caen \mathbb{R} (y el 2 es para no contar uno y su conjugado), entonces vamos a explicar la idea de como construir un subgrupo de co-volumen finito de \textrm{PSL}(2,\mathbb{R})^\alpha\times\textrm{PSL}(2,\mathbb{C})^\beta para 0\leq \alpha\leq r. Así, el cuerpo \mathbb{Q}(\sqrt{-1}) da lugar a 3-variedades hiperbólicas de volumen finito, el cuerpo \mathbb{Q}(\sqrt2) da lugar a superficies hiperbólicas de area finita y el cuerpo \mathbb{Q}(\sqrt[3]2) da lugar a variedades de volumen finito modeladas en \mathbb{H}^2\times\mathbb{H}^3 que no son un producto.

Esta historia nace en el paper de Borel, lo que vamos a contar acá se encuentra en el libro de Maclachlan-Ried.

El asunto viene con las álgebras de cuaterniones: si k es un cuerpo y a,b\in k^*=k-\{0\} definimos el álgebra de cuaterniones H=H/k=H_{(a,b)/k} sobre k, como el espacio vectorial sobre k generado por \{1,i,j,ij\} con las relaciones de producto

i^2=a\cdot 1=a,\ j^2=b\textrm{ y } ij=-ji. Lee el resto de esta entrada »

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Construcciones aritméticas parte 1

In Álgebra, Grupos y geometría, Teoría de números on Sábado 14, febrero, 2015 at 1:15 pm

por Andrés Sambarino

Me gustaría contar algunas construcciones aritméticas que dan lugar a variedades compactas modeladas en ciertas geometrías (globalmente) simétricas. Toda la info de este post está incluida en estas notas de Yves Benoist.

La construcción que vamos a hacer es un caso particular de un Teorema de Borel y Harish-Chandra y tiene, por ejemplo, la siguiente consecuencia.

Proposición. Sea n un entero positivo, entonces existe una variedad hiperbólica compacta de dimension n.

La primer idea que a uno se le ocurriría para demostrar esto es copiar lo que se hace en dimension dos: considerar poliedros hiperbólicos y pegar adecuadamente las caras; los ángulos formados entre las caras de dimensión mas chica tienen que verificar ciertas condiciones; y si todo va bien se obtiene una variedad hiperbólica compacta.

Resulta que con este método solo se conocen ejemplos concretos hasta dimensión 5 y se sabe que no puede andar en dimensión mas grande que 29 (porqué sera esto…?).

Consideramos en \mathbb{R}^{p+q} la forma cuadrática de signatura (p,q) dada por

\overline\omega(v)=v_1^ 2+\cdots+v_p^2-\sqrt2(v_{p+1}^ 2+\cdots+v_{p+q}^2)

y sea

\textrm{SO}(\overline\omega,\mathbb{R})=\{g\in\textrm{SL}(p+q,\mathbb{R}):\overline\omega\circ g=\overline\omega\}

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Octoniones escindidos

In Álgebra, Álgebra Lineal on Jueves 4, diciembre, 2014 at 12:56 pm

por Andrés Sambarino

En un intento por entender los grupos de Lie excepcionales me crucé con un resultado sobre álgebras compuestas. Si k es un cuerpo y A un álgebra con unidad sobre k, decimos que A es compuesta si existe una forma cuadrática no degenerada q:A\to k que respeta el producto, es decir q(xy)=q(x)q(y).

El enunciado que quiero contar es el siguiente:

Teorema [Hurwitz-Jacobson]. Sea A un álgebra compuesta, entonces \dim_k A=1,2,4 ou 8.

Además, si \dim A=2 entonces A es conmutativa y asociativa, si \dim A=4 es asociativa pero no conmutativa, si \dim A=8 entonces no es ni conmutativa ni asociativa.

Es interesante comparar esto con algunos resultados mas conocidos, por ej el Teorema de Stiefel: si \mathbb{R}^n tiene una estructura de álgebra sin divisores de cero, entonces n=1,2,4 ou 8. Lee el resto de esta entrada »

Cómo sacarle la torsión a SL(d,Z)

In Grupos y geometría, Teoría de números on Miércoles 27, agosto, 2014 at 12:18 pm

por Andrés Sambarino

La idea de este texto es explicar cómo hacer para encontrar un subgrupo de indice finito de

\textrm{SL}(d,\mathbb{Z})=\{\textrm{matrices }d\times d\textrm{ con entradas en }\mathbb{Z}\textrm{ y }\det=1\},

que no tenga torsión.

Sea \lambda un entero algebraico, es decir, \lambda es raíz de un polinomio mónico p\in\mathbb{Z}[x]. El conjunto \{p\in\mathbb{Q}[x]: p(\lambda)=0\} es un ideal de \mathbb{Q}[x] y, dado que \mathbb{Q}[x] es un DIP (i.e. todo ideal es generado por un elemento) existe un polinomio p_\lambda\in\mathbb{Z}[x] tal que si p(\lambda)=0 entonces p= p_\lambda\cdot q para algún q\in\mathbb{Z}[x]. El polinomio p_\lambda es único si exigimos que los coeficientes no tengan un divisor común. El grado de \lambda es el grado de p_\lambda.

El primer paso clave es el siguiente:

Lema. Sea g\in\textrm{SL}(d,\mathbb{Z}) un elemento de torsión, entonces sus valores propios son raíces de la unidad, de grado a lo sumo d.

Prueba. Es obvio que los valores propios de g son raíces de la unidad, ya que g^n=\textrm{Id}. Sea \lambda un valor propio de g, y p_\lambda\in\mathbb{Z}[x] el polinomio irreducible sobre \mathbb{Z} asociado a \lambda. El polinomio característico de g tiene a \lambda por raíz y por tanto a p_\lambda por factor, así d\geq k.

\square Lee el resto de esta entrada »

Jorge Lewowicz

In Uncategorized on Sábado 28, junio, 2014 at 6:46 am

El 21 de junio de 2014 fallece en Montevideo Jorge Lewowicz, Matemático uruguayo y Dr. Honoris Causa de la Universidad de la República. Aquí, en el coloquio oleis, hacemos un pequeño y simple homenaje a un gran maestro y amigo. Mejores referencias para su trabajo, tanto humano como matemático, pueden encontrarse en este link. A continuación Rafael Potrie escribe unas breves palabras sobre su obra.

Jorge trabajó en sistemas dinámicos desde un punto de vista topológico. Una de sus obsesiones matemáticas fue la de entender los homeomorfismos expansivos, que en sus palabras “son aquellos donde cada punto tiene un comportamiento dinámico distintivo”.

Definición. Sea X un espacio métrico compacto. Decimos que un homemorfismo f:X\to X es expansivo, si existe \alpha>0 tal que para todos x\neq y\in X, existe n\in\mathbb Z tal que d(f^n(x),f^n(y))>\alpha. Lee el resto de esta entrada »

Topologias en conjuntos finitos

In Topología on Lunes 28, abril, 2014 at 3:24 pm

por Andrés Sambarino

Voy a parafrasear este artículo de wikipedia que me dejó como loco.

El asunto es poner una topología en un conjunto de 4 elementos, y ver que el grupo fundamental es \mathbb{Z}. La cosa es así: Considerás X=\{a,b,c,d\}, con la topología \tau=\{\emptyset, X, \{a,b,c\},\{a,b,d\}, \{a,b\},\{a\},\{b\}\}.

cuatroSe puede construir fácil una función contínua sobreyectiva del círculo en (X,\tau) como en el dibujo: Consideramos el círculo como vectores de norma 1 en \mathbb{R}^2, y definimos

f(x,y)=\left\{\begin{array}{cccc}a\textrm{ si }x<0,\\ b\textrm{ si }x>0\end{array}\right.,

f(1,0)=c y f(-1,0)=d.

Para calcular el grupo fundamental, la idea es ver que el espacio X es union de dos abiertos contractibles, \{a,b,c\} y \{a,b,d\} cuya intersección son dos conjuntos contractibles. Para ver que \{a,b,c\} es contractible basta observar que \{a,b\} es abierto y \{c\} es cerrado y considerar el mapa H:\{a,b,c\}\times[0,1]\to\{a,b,c\} dado por

H(x,t)=x para t<1/2 y H(x,t)=c para t\geq1/2.

En esta situación no se puede usar el teorema de van Kampen, porque la intersección de \{a,b,c\} con \{a,b,d\} no es conexa, pero parece que hay una generalizacion que permite usar van Kampen con varios puntos base.

Resulta ademas, que en este artículo, McCord prueba que cualquier CW complejo finito (finitas celulas) es debilmente homotopicamente equivalente (i.e. hay una función que es un isomorfismo en todos los gruos de homotopia) a una topología en un conjunto finito…

 

 

 

 

 

La geometría de Hilbert de un conjunto estrictamente convexo

In Grupos y geometría on Viernes 21, junio, 2013 at 1:20 pm

por Andrés Sambarino

En este post vamos a hablar un poco de la geometría de Hilbert de un abierto convexo propio de el espacio proyectivo de \mathbb{R}^d,

\mathbb{P}(\mathbb{R}^d)=\{\textrm{rectas de }\mathbb{R}^d\textrm{ por }0\}.

Hay dos surveys que están buenos en este tema, uno es esta exposición de Quint en el seminario Bourbaki, el otro es los primeros capítulos de la tesis de Crampon, que la pueden encontrar acá.

Decimos que un abierto \Omega de \mathbb{P}(\mathbb{R}^d) es convexo si la intersección de \Omega con toda recta afin, es un conjunto conexo. Decimos además que \Omega es un propio, si existe un hiperplano V de \mathbb{P}(\mathbb{R}^d), que no intersecta la clausura de \Omega.

Si \Omega es un abierto convexo propio, podemos definir una distancia en \Omega usando la razón doble. Recordar que la razón doble  (ver este post) entre 4 puntos de la recta se define como

{\displaystyle [x,b,y,a]=\frac{x-b}{x-a}\frac{y-a}{y-b}.}

Así, si x,y son dos puntos de \Omega, consideramos la recta que los une y a,b\in\partial\Omega los puntos de intersección de esta recta con \partial\Omega. Definimos entonces la distancia entre x e y como Lee el resto de esta entrada »

Cuando un flujo es una suspensión

In Dinámica topológica, Sistemas Dinámicos on Viernes 11, mayo, 2012 at 8:54 am

por Andrés  Sambarino

Dado un espacio métrico compacto X y un flujo \phi_t:X\to X es natural preguntarse si el flujo tiene subconjuntos donde el mapa de primer retorno es contínuo. Esta idea de Poincaré ayuda a entender la dinámica de un flujo estudiando dinámica discreta. En general, cerca de una órbita periódica hay secciones transversales en el siguiente sentido, dado V “transversal” a la órbita periódica en p, existe U (también transversal y con p\in V) tal que el mapa de primer retorno f:U\to V está bien definido.

El objetivo de este texto es entonces dar una caracterización de Schwartzman, del artículo Asymptotic cycles del ’56, para decidir si un flujo admite una sección transversal global, es decir, si el flujo es una suspensión. La idea de Schwartzman es ver en qué sentido dan vueltas las órbitas y, si todas lo hacen en el mismo, el flujo es necesariamente una suspensión.

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Razon doble y geometría hiperbólica

In Grupos y geometría on Miércoles 22, febrero, 2012 at 11:12 am

por Andrés Sambarino

En este artículo me gustaría contar un poco de los cross ratio, o razon doble creo que se llama en español, a ver si le damos un poco de vida al coloquio Oleis que lo tenemos abandonado.

La razon doble entre cuatro puntos de \mathbb R\cup\{\infty\} se define como

{\displaystyle [x,y,z,t]=\frac{x-y}{x-t}\frac{z-t}{z-y}.}

Para acordarse de la formula lo mejor es pensar que el 1er numero ‘x‘ juega un rol similar al del tercero ‘z‘. Lo mismo pasa con el 2do y el 4to. Esto queda más claro con la relación siguiente

[x,y,z,t]=[z,t,x,y].                 (relación (1))

Lo primero que observamos es que el cross ratio de 4 puntos es invariante por transformaciones de Moebius (de coeficientes reales):

{\displaystyle x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d}\ a,b,c,d\in\mathbb R.}

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3er Coloquio Uruguayo

In Uncategorized on Domingo 20, noviembre, 2011 at 1:09 pm

Se viene el 3er coloquio Uruguayo de Matemática del 20 al 22 de diciemebre. La página oficial es http://www.cmat.edu.uy/cmat/eventos/3erCUM, ahí pueden encontrar el formulario de inscripción e información del congreso. Acá abajo esta el programa tentativo.