por Andrés Sambarino
El plan ahora es contar otro tipo de construcción aritmética que da lugar a subgrupos de co-volumen finito de para (es decir, modulo torsion, variedades de volumen finito modeladas en ) y sobre el final vamos a enunciar la formula para calcular el co-volumen de en términos de las cuestiones aritméticas que aparecen en su construcción.
La construcción empieza por elegir un cuerpo que sea una extension finita de Si el numero de morfismos de en se escribe como donde son aquellos que caen (y el es para no contar uno y su conjugado), entonces vamos a explicar la idea de como construir un subgrupo de co-volumen finito de para Así, el cuerpo da lugar a 3-variedades hiperbólicas de volumen finito, el cuerpo da lugar a superficies hiperbólicas de area finita y el cuerpo da lugar a variedades de volumen finito modeladas en que no son un producto.
Esta historia nace en el paper de Borel, lo que vamos a contar acá se encuentra en el libro de Maclachlan-Ried.
El asunto viene con las álgebras de cuaterniones: si es un cuerpo y definimos el álgebra de cuaterniones sobre como el espacio vectorial sobre generado por con las relaciones de producto