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Grupos fundamentales de variedades y grupos finitamente presentados.

In Grupos y geometría, Topología on Miércoles 28, julio, 2010 at 11:53 am

por Rafael Potrie

Me gustaría en este post discutir un poco la relación entre grupos y variedades para mostrar un poco como a veces cosas que parecen ejemplos de una estructura abstracta, en realidad la contienen. Un buen ejemplo, son los grupos de simetrías de espacios finitos, que de hecho contienen absolutamente todos los posibles grupos finitos (y de esa manera, nos permite comprender los grupos desde un punto de vista más geométrico).

En este post, voy a ver la relación entre los grupos finitamente presentados y los grupos fundamentales de variedades. Vamos a mostrar que un grupo es finitamente presentado si y solamente si es el grupo fundamental de una variedad. De hecho, mostraremos esto para {4-}variedades (pero es válido para variedades de cualquier dimensión mayor o igual a {4}).

Antes de empezar, mismo antes de definir grupo finitamente presentado, voy a dar un argumento (rápido) de porque en dimensiones dos y tres esto no es posible. Lo único a decir sobre los grupos finitamente presentados, es que naturalmente, los grupos finitos lo son.

En dimensión dos, tenemos bien definida una lista de variedades, con lo cual es fácil ver que grupos como {\mathbb{Z}_3} no son grupo fundamental de ninguna superficie.

En dimensión tres, argumentos parecidos pueden ser hechos, uno rápido es tener en cuenta que toda {3}-variedad con grupo fundamental finito tiene que ser cubierta por la {3}-esfera (esto lo sabemos gracias a que recientemente la conjetura de Poincare en dimensión {3} fue demostrada) y se sabe que no todo grupo finito puede actuar libre y discontinuamente en la {3}-esfera (esto hay que chequearlo, pero a mi al menos me resulta suficientemente convincente).

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Convergencia de funciones y medidas.

In Análisis Real y Complejo, Probabilidad y Estadística on Lunes 19, julio, 2010 at 7:03 pm

por Pablo Lessa

Quiero escribir un poco sobre la relación entre convergencia puntual de funciones medibles y convergencia débil de medidas de probabilidad en el contexto de espacios métricos completos y separables.

Para simplificar la discusión voy a tomar como espacio de probabilidad \mathbb{R} con la \sigma-álgebra de Borel (i.e. la generada por los abiertos).   Vamos a considerar diferentes medidas de probabilidad en este espacio pero utilizaremos \lambda para denotar la medida de Lebesgue restringida al intervalo [0,1] (i.e. la distribución uniforme en [0,1]).

Posiblemente el primer punto interesante de la teoría de la medida es que los limites puntuales de funciones medibles también son medibles.  Esto es una mejora sobre la teoría de integración Riemann en la cual, por ejemplo, existen funciones derivables cuya derivada no es integrable.

Teorema. Si f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R} es Borel-medible para todo n y existe f = \lim_{n \to +\infty}f_n entonces f es Borel-medible.

Demostración. Todo abierto A se puede escribir como unión creciente y numerable de abiertos A_k cuya clausura está contenida en A.   Una vez hecho esto se ve que f(x) = \lim_n f_n(x) \in A si y sólamente si existe k tal que a partir de cierto n_0 se cumple que f_n(x) \in A_k para todo n \ge n_0.  Esto implica que f^{-1}(A) se puede escribir con uniones e intersecciones numerables a partir de los f_n^{-1}(A_k) que son medibles.  Explícitamente se obtiene:

f^{-1}(A) = \bigcup_k \bigcup_{n_0} \bigcap_{n \ge n_0} f_n^{-1}(A_k)

\Box

Si f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} es medible, y consideramos en \mathbb{R} la medida de probabilidad \lambda, entonces f da origen a una nueva medida de probabilidad f_*\lambda llamada la medida “push-forward” o la distribución de f.   Esta medida se define a traves de la ecuación:

f_*\lambda(A) = \lambda(f^{-1}(A))

Para sucesiones de funciones convergentes. ¿Cual es la relación entre las distribuciones de la sucesión y la de su límite?

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El conjunto no errante para iterados de una dinámica.

In Dinámica topológica, Sistemas Dinámicos on Viernes 2, julio, 2010 at 2:30 pm

por Rafael Potrie

En general, en sistemas dinámicos nos interesa estudiar el comportamiento asintótico de una transformación del espacio. Por lo tanto, es razonable esperar en general que los conceptos que estudiamos no dependerán de si estamos estudiando una dinámica f o un iterado de esta, digamos f^m.

Claramente, el conjunto de puntos periódicos de f coincide con el de f^m, sin embargo, el conjunto de puntos fijos difiere en ambos casos si existen orbitas periódicas de f cuyo período es mayor que uno y divide a m.

El objetivo de este post es estudiar el conjunto no errante y probar que si este es todo el espacio, entonces lo será también para todos los iterados de f.

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