por Rafael Potrie
Me gustaría en este post discutir un poco la relación entre grupos y variedades para mostrar un poco como a veces cosas que parecen ejemplos de una estructura abstracta, en realidad la contienen. Un buen ejemplo, son los grupos de simetrías de espacios finitos, que de hecho contienen absolutamente todos los posibles grupos finitos (y de esa manera, nos permite comprender los grupos desde un punto de vista más geométrico).
En este post, voy a ver la relación entre los grupos finitamente presentados y los grupos fundamentales de variedades. Vamos a mostrar que un grupo es finitamente presentado si y solamente si es el grupo fundamental de una variedad. De hecho, mostraremos esto para variedades (pero es válido para variedades de cualquier dimensión mayor o igual a ).
Antes de empezar, mismo antes de definir grupo finitamente presentado, voy a dar un argumento (rápido) de porque en dimensiones dos y tres esto no es posible. Lo único a decir sobre los grupos finitamente presentados, es que naturalmente, los grupos finitos lo son.
En dimensión dos, tenemos bien definida una lista de variedades, con lo cual es fácil ver que grupos como no son grupo fundamental de ninguna superficie.
En dimensión tres, argumentos parecidos pueden ser hechos, uno rápido es tener en cuenta que toda -variedad con grupo fundamental finito tiene que ser cubierta por la -esfera (esto lo sabemos gracias a que recientemente la conjetura de Poincare en dimensión fue demostrada) y se sabe que no todo grupo finito puede actuar libre y discontinuamente en la -esfera (esto hay que chequearlo, pero a mi al menos me resulta suficientemente convincente).