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La geometría de Hilbert de un conjunto estrictamente convexo

In Grupos y geometría on viernes 21, junio, 2013 at 1:20 pm

En este post vamos a hablar un poco de la geometría de Hilbert de un abierto convexo propio de el espacio proyectivo de $\mathbb{R}^d,$

$\mathbb{P}(\mathbb{R}^d)=\{\textrm{rectas de }\mathbb{R}^d\textrm{ por }0\}.$

Hay dos surveys que están buenos en este tema, uno es esta exposición de Quint en el seminario Bourbaki, el otro es los primeros capítulos de la tesis de Crampon, que la pueden encontrar acá.

Decimos que un abierto $\Omega$ de $\mathbb{P}(\mathbb{R}^d)$ es convexo si la intersección de $\Omega$ con toda recta afin, es un conjunto conexo. Decimos además que $\Omega$ es un propio, si existe un hiperplano $V$ de $\mathbb{P}(\mathbb{R}^d),$ que no intersecta la clausura de $\Omega.$

Si $\Omega$ es un abierto convexo propio, podemos definir una distancia en $\Omega$ usando la razón doble. Recordar que la razón doble (ver este post) entre 4 puntos de la recta se define como

$[x,b,y,a]=\frac{x-b}{x-a}\frac{y-a}{y-b}.$

Así, si $x,y$ son dos puntos de $\Omega,$ consideramos la recta que los une y $a,b\in\partial\Omega$ los puntos de intersección de esta recta con $\partial\Omega.$ Definimos entonces la distancia entre $x$ e $y$ como Lee el resto de esta entrada »