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Clasificacion de las 1-variedades

In Grupos y geometría, Topología on Domingo 10, abril, 2011 at 2:33 am

por Pablo Lessa

En esta pequeña nota quiero dar una prueba de la clasificación de las variedades diferenciables de dimensión 1.

La otra demostración que conozco (e.g. en el libro de Milnor) utiliza que la variedad puede partirse en piezas que son segmentos parametrizados por longitud de arco, y luego analiza combinatoriamente como se pegan estas piezas llegando a los dos casos:  O se cierran y la variedad es un círculo, o no y la variedad es un intervalo.  Una demostración similar puede llevarse a cabo para variedades topológicas de dimensión 1 y además la demostración captura la escencia de porqué es verdad el resultado.  Cabe preguntarse entonces: ¿Porqué molestarse en dar otra demostración?

Creo que el mérito de la siguiente demostración es que, a pesar de no ser elemental, sólamente utiliza herramientas que son utiles para muchas otras cosas.  Sin más preambulos acá va la demostración.

Teorema: Toda variedad diferenciable conexa de dimensión 1 es difeomorfa a un intervalo o a \mathbb{R}/\mathbb{Z}.

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Otro grupo de Lie que no es un grupo de matrices

In Grupos y geometría on Sábado 9, abril, 2011 at 1:08 pm

por Andrés Sambarino

Este post va en respuesta a la pregunta que hizo el lessa en este post. La idea es explicar, sin muchos detalles, porque el cubrimiento universal del grupo

\textrm{SL}(2,\mathbb R)=\{\textrm{matrices reales }2\times 2\textrm{ con }\det=1\}

no es un subgrupo del grupo matrices invertibles \textrm{GL}(n,\mathbb R).

El hecho fundamental es que todo morfismo \rho:\widetilde{\textrm{SL}(2,\mathbb R)}\to \textrm{GL}(n,\mathbb R) se factoriza a travez de \textrm{SL}(2,\mathbb R). Es decir:

Proposición. Sean \rho:\widetilde{\textrm{SL}(2,\mathbb R)}\to \textrm{GL}(n,\mathbb R) y \pi:\widetilde{\textrm{SL}(2,\mathbb R)}\to \textrm{SL}(2,\mathbb R) la proyección de cubrimiento, entonces existe un único \rho':\textrm{SL}(2,\mathbb R)\to\textrm{GL}(n,\mathbb R) tal que \rho=\rho'\circ \pi.

En particular el morfismo \rho no puede ser inyectivo.

El resto del artículo es para probar esta proposición. Hay dos ingredientes centrales: el primero dice que un morfismo entre álgebras de Lie se extiende a los respectivos grupos de Lie cuando el grupo de salida es simplemente conexo, y el segundo es que el grupo \textrm{SL}(2,\mathbb C) es simplemente conexo.

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