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Archive for junio 2010|Monthly archive page

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Grupos actuando en la recta

In Grupos y geometría, Sistemas Dinámicos on martes 22, junio, 2010 at 10:15 am

por Andrés Sambarino

Una acción de un grupo {\Gamma} en un espacio topológico {X} es un morfismo de {\Gamma} en el grupo de homeomorfismos de {X,} {\phi:\Gamma\rightarrow\textrm{Homeo}(X),} aunque lo mejor es pensar a {\Gamma} como un grupo de transformaciones de {X.}

Decimos que una acción es libre si {g(x)=x} para algún {x\in X} implica que {g} es la identidad {e} de {\Gamma,} es decir, los elementos de {\Gamma-\{e\}} no tienen puntos fijos en {X.}

El objetivo de este texto es contar una prueba del siguiente teorema de Hölder.

Teorema. (Hölder) Un grupo que actúa libremente en {{\mathbb R}} es abeliano.

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Una dicotomía entre hiperbolicidad y dinámicas salvajes.

In Álgebra Lineal, Dinámica genérica on viernes 18, junio, 2010 at 4:19 pm

por Rafael Potrie

En este post me gustaría contar un resultado debido a Mañe y dar indicaciones sobre su prueba que me resulta muy linda.

Antes, necesito introducir un par de conceptos, por simplicidad, voy a hacer todo en superficies. Sea {f\in Diff^1(M)} un difeomorfismo de una superficie {M}.

Decimos que un conjunto compacto invariante {\Lambda} es hiperbólico si para todo punto {x\in \Lambda}, tenemos una descomposición {T_xM = E^s_x \oplus E^u_x} de su espacio tangente y esta descomposición verifica las siguientes propiedades:

  • {Df_x(E^\sigma_x) = E^\sigma_{f(x)}} para todo {x\in \Lambda} y {\sigma= s,u}.
  • Existe un valor {N>0} tal que {\|Df^N_x|_{E^s(x)}\| < \frac 1 2} y {\|Df^{-N}_x|_{E^u_x}\|< \frac 1 2} para todo {x\in \Lambda}.

Un ejercicio interesante es mostrar que la definición implica que los fibrados {E^s_x} y {E^u_x} varían continuamente, en particular, la dimensión de dichos fibrados es localmente constante (y se puede extender a la clausura).

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Grupo fundamental de las esferas.

In Topología on jueves 3, junio, 2010 at 7:12 am

por Rafael Potrie

En el post anterior, se discutió una prueba de que el grupo fundamental de las esferas de dimensión S^n (n\geq 2) es trivial. Escencialmente, la prueba consistía en hacer una homotopía de un mapa f: S^1 \to S^n a un mapa que no fuese sobreyectivo (eso permite concluir ya que la esfera menos un punto es contractible, como se puede ver utilizando la proyección estereográfica).

En este post, pretendo dar una prueba «distinta» de este hecho. Las comillas tienen que ver con que es realmente difícil definir que es que dos pruebas sean la misma o no (por una discusión sobre esto, recomiendo este post). Luego de dar la prueba, voy a comentar porque me parece (al menos un poco) distinta.

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