Construcciones aritméticas parte 2

In Álgebra, Grupos y geometría, Teoría de números on miércoles 5, agosto, 2015 at 1:15 pm

El plan ahora es contar otro tipo de construcción aritmética que da lugar a subgrupos $\Gamma$ de co-volumen finito de $\textrm{PSL}(2,\mathbb{R})^\alpha\times\textrm{PSL}(2,\mathbb{C})^\beta,$ para $\alpha,\beta\geq0$ (es decir, modulo torsion, variedades de volumen finito modeladas en $(\mathbb{H}^2)^\alpha\times(\mathbb{H}^3)^\beta$ ) y sobre el final vamos a enunciar la formula para calcular el co-volumen de $\Gamma$ en términos de las cuestiones aritméticas que aparecen en su construcción.

La construcción empieza por elegir un cuerpo $k$ que sea una extension finita de $\mathbb{Q}.$ Si el numero de morfismos de $k$ en $\mathbb{C}$ se escribe como $r+2\beta,$ donde $r$ son aquellos que caen $\mathbb{R}$ (y el $2$ es para no contar uno y su conjugado), entonces vamos a explicar la idea de como construir un subgrupo de co-volumen finito de $\textrm{PSL}(2,\mathbb{R})^\alpha\times\textrm{PSL}(2,\mathbb{C})^\beta$ para $0\leq \alpha\leq r.$ Así, el cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$ da lugar a 3-variedades hiperbólicas de volumen finito, el cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt2)$ da lugar a superficies hiperbólicas de area finita y el cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)$ da lugar a variedades de volumen finito modeladas en $\mathbb{H}^2\times\mathbb{H}^3$ que no son un producto.

Esta historia nace en el paper de Borel, lo que vamos a contar acá se encuentra en el libro de Maclachlan-Ried.

El asunto viene con las álgebras de cuaterniones: si $k$ es un cuerpo y $a,b\in k^*=k-\{0\}$ definimos el álgebra de cuaterniones $H=H/k=H_{(a,b)/k}$ sobre $k,$ como el espacio vectorial sobre $k$ generado por $\{1,i,j,ij\}$ con las relaciones de producto

$i^2=a\cdot 1=a,\ j^2=b\textrm{ y } ij=-ji.$

A $(a,b)/k$ se le llama el símbolo de Hilbert del álgebra.

Observar que $(ij)^2=-ab$ y que $i,$ $j$ e $ij$ juegan roles similares en la definición, así que en realidad las álgebras de cuaterniones $(a,b),$ $(b,a)$ y $(a,-ab)$ son todas isomorfas.

El ejemplo básico de un álgebra de cuaterniones sobre $k$ es el álgebra

$M_2(k)=\{\textrm{matrices }2\times 2\textrm{ con coeficientes en }k\}.$

Considerando las matrices

$i=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\textrm{ y }j=\left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$

se ve que $ij=-ji$ y ademas $i^2=1$ y $j^2=-1,$ es decir $M_2(k)$ es el álgebra de cuaterniones $(1,-1)/k,$ que es lo mismo que $(1,1)/k.$

Observación. Sean $a,b,\lambda,\mu\in k^*,$ entonces las álgebras de cuaterniones $(a,b)/k$ y $(a\lambda^2,b\mu^2)/k$ son isomorfas.

La observación se prueba cambiando $i$ por $\lambda i$ y $j$ por $\mu j.$ Lo interesante acá es que el álgebra $(a,b)/k$ depende de si $a$ y $b$ tienen raíces cuadradas en $k.$ Esto tiene la siguiente consecuencia interesante: como en $\mathbb{C}$ todo numero es un cuadrado, tenemos que si $a,b\in\mathbb{C}^*$ entonces $(a,b)/\mathbb{C}$ es isomorfa a $(1,1)/\mathbb{C}$ que, como vimos recién, es $M_2(\mathbb{C}).$ Es decir, hay solo un álgebra de cuaterniones sobre $\mathbb{C}$ y es el álgebra de las matrices $2\times 2.$

Sobre $\mathbb{R}$ estan además los bien conocidos cuaterniones de Hamilton $\mathbf{H}=(-1,-1)/\mathbb{R}.$ La observación implica que, modulo isomorfismos, $M_2(\mathbb{R})$ y $\mathbf{H}$ son las únicas álgebras de cuaterniones sobre $\mathbb{R}.$ Sobre otros cuerpos aparecen mas álgebras no necesariamente isomorfas, por ejemplo, (en algun post eventual mostraremos que) las álgebras $(-1,p)/\mathbb{Q},$ con $p$ primo $=3\ (\textrm{mod } 4),$ no son isomorfas entre si. Se tiene igual la siguiente dicotomía:

Teorema. Un álgebra de cuaterniones sobre $k$ es con división (i.e. todo elemento no nulo tiene un inverso) o isomorfa a $M_2(k).$

La prueba del teorema viene por considerar una norma natural en $H.$ Si $x\in H$ se escribe como $x=x_0+x_1i+x_2j+x_3ij$ entonces el conjugado de $x$ es $\bar{x}=x_0-x_1i-x_2j-x_3ij$ y la norma de $x$ es $n(x)=x\bar{x}\in k\cdot 1.$ Observar que $n(xy)=n(x)n(y),$ así

$H^1=\{x:n(x)=1\}$

es un grupo multiplicativo.

Cuando uno ve esto siempre piensa en $\mathbb{C}$ y parece todo trivial, sin embargo, para el álgebra $(1,1)/k=M_2(k)$ y $x=\left(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right)$ se tiene que

$\bar x= \left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a\end{array}\right)\textrm{ y }n(x)=ad-bc=\det x,$

por lo tanto, $M_2(k)^1=\textrm{SL}(2,k).$

Volviendo al caso general, si $x\in H$ y $n(x)\neq0$ entonces necesariamente $x$ es invertible en $H$ y su inverso es $\bar{x}/n(x).$ Así, el verdadero Teorema 1 es:

Teorema. Sea $H/k=H_{(a,b)/k}$ un álgebra de cuaterniones, si $n(x)=0$ para algún $x,$ entonces $H$ es isomorfa a $M_2(k).$ Mas aun, $n(x)=0$ para algún $x\in H$ si y solo si la ecuación $ap^2+bq^2=1$ tiene solución en $k\times k.$

Si $k\subset l$ es una extension de $k$ y $H$ es el álgebra $(a,b)/k,$ entonces podemos considerar a $H$ como $l$ -espacio vectorial (esto en gral se denota como $H\otimes l$ ) y obtenemos el álgebra de cuaterniones $(a,b)/l.$ Un álgebra con division puede convertirse así en un álgebra de matrices, por ejemplo si $l=\mathbb{C}.$ Decimos entonces que $H$ escinde en $l$ si $H\otimes l \cong M_2(l),$ de lo contrario, (es decir si $H\otimes l$ es con división) decimos que $H$ ramifica en $l.$

Sea entonces $k$ una extensión finita de $\mathbb{Q}$ y $\Sigma=\Sigma_\mathbb{R}\cup\Sigma_\mathbb{C}$ el conjunto de morfismos de $k$ (densos) en $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ respectivamente. Decimos entonces que el álgebra $H=(a,b)/k$ ramifica en $\sigma\in\Sigma_\mathbb{R}$ si $H_\sigma=(\sigma(a),\sigma(b))/\sigma(k)$ ramifica en $\mathbb{R}.$ Dado que hay solo dos álgebras de cuaterniones sobre $\mathbb{R}$ es relativamente facil decidir si $H$ ramifica en $\sigma$ : es equivalente a que $\sigma(a)$ y $\sigma(b)$ sean negativos. Sea $\textrm{Ram}_\infty=\textrm{Ram}_\infty( H)\subset\Sigma$ el conjunto de morfismos de $k$ a $\mathbb{R}$ donde $H$ ramifica.

Si $x\in H$ y $\sigma\in\Sigma,$ denotamos $\bar\sigma(x)$ como el elemento correspondiente a $\sigma(x)$ en el álgebra $H\otimes\mathbb{R}$ (si $\sigma\in\Sigma_\mathbb{R}$ ) o en $H\otimes\mathbb{C}=M_2(\mathbb{C})$ si $\sigma\in\Sigma_\mathbb{C}.$ Consideramos entonces el mapa

$\Phi:H\mapsto\bigoplus_{\sigma\in\textrm{Ram}_\infty}\mathbf{H}\bigoplus_{\sigma\in\Sigma_\mathbb{R}-\textrm{Ram}_\infty}M_2(\mathbb{R})\bigoplus_{\sigma\in\Sigma_\mathbb{C}}M_2(\mathbb{C})$

dado por $x\mapsto(\bar\sigma(x))_{\sigma\in\Sigma}.$ Obervar que via este mapa, $H^1$ cae en

$(\mathbf{H}^1)^{|\textrm{Ram}_\infty|}\times\textrm{SL}(2,\mathbb{R})^{|\Sigma_\mathbb{R}-\textrm{Ram}_\infty|}\times\textrm{SL}(2,\mathbb{C})^{|\Sigma_\mathbb{C}|}.$

Sea ${\mathcal R}_k$ el anillo de enteros de $k,$ es decir, aquellos elementos de $k$ que son soluciones de polinomios mónicos con coeficientes en $\mathbb Z.$ Un orden en un álgebra de cuaterniones $H$ sobre $k,$ es un ${\mathcal R}_k$ -submodulo de $H$ que genera $H$ como $k$ -espacio vectorial, que ademas es un anillo con unidad. En otras palabras, un orden es un ‘ $\mathcal R_k$ -lattice’ de $H$ que es cerrado por multiplicación y tiene el 1.

Por ejemplo, si $H$ es el álgebra $(a,b)/k$ con $a,b\in{\mathcal R}_k$ entonces el ${\mathcal R}_k$ -modulo generado por $\{1,i,j,ij\}$ es un orden en $H.$

Si $\mathcal O$ es un orden en $H,$ entonces $\Phi({\mathcal O}^1)$ es un subgrupo de

$(\mathbf{H}^1)^{|\textrm{Ram}_\infty|}\times\textrm{SL}(2,\mathbb{R})^{|\Sigma_\mathbb{R}-\textrm{Ram}_\infty|}\times\textrm{SL}(2,\mathbb{C})^{|\Sigma_\mathbb{C}|},$

necesariamente discreto. Como además $\mathbf{H}^1$ es compacto, se tiene que la proyeccion de $\Phi({\mathcal O}^1)$ en las coordenadas $\textrm{SL}(2,\mathbb{R})^{|\Sigma_\mathbb{R}-\textrm{Ram}_\infty|}\times\textrm{SL}(2,\mathbb{C})^{|\Sigma_\mathbb{C}|}$ tambien es discreto, llamamos $\bar{\Phi}({\mathcal O}^1)$ a esta proyección. Se tiene el siguiente teorema de Borel.

Teorema.(Borel) Sea $\mathcal O$ un orden en un álgebra de cuaterniones $H$ sobre $k.$ Entonces $\bar{\Phi}({\mathcal O}^1)$ es un subgrupo discreto y de co-volumen finito en

$\textrm{SL}(2,\mathbb{R})^{|\Sigma_\mathbb{R}-\textrm{Ram}_\infty|}\times\textrm{SL}(2,\mathbb{C})^{|\Sigma_\mathbb{C}|}.$

Si $H$ es con división, entonces $\bar\Phi({\mathcal O}^1)$ es co-compacto. La proyección de $\bar{\Phi}({\mathcal O}^1)$ en cualquier subconjunto de coordenadas es densa.

La prueba de este teorema es parecida a lo que esta en el post este. Sin embargo, la ventaja de esta construcción es que se puede calcular el volumen del cociente!

Vamos a centrarnos en superficies hiperbólicas. Para caer en esta situación hay que elegir un cuerpo totalmente real i.e. un cuerpo $k$ con $\Sigma=\Sigma_\mathbb{R}$ y un álgebra de cuaterniones $H$ sobre $k$ que ramifica en todos los elementos de $\Sigma_\mathbb{R}$ salvo 1, es decir $|\Sigma_\mathbb{R}-\textrm{Ram}_\infty(H))|=1.$

Simplemente vamos a enunciar la formula del volumen y explicar los objetos involucrados porque la capocha no me da pa mas…

Teorema.(Borel) Sean $k$ y $H$ como en el párrafo anterior y $\mathcal O$ un orden maximal de $H,$ entonces

$\textrm{area}(\mathbb{H}^2/\bar\Phi({\mathcal O}^1))=\frac{8\pi \Delta_k^{3/2}\zeta_k(2)}{(4\pi^2)^{[k:\mathbb{Q}]}}\prod_{{\mathcal P}:\,H\textrm{ ramifica en }\mathcal P}(N({\mathcal P})-1).$

Explicamos uno por uno cada objeto que aparece en la formula. Sea $k$ una extension finita de $\mathbb{Q}$ y ${\mathcal R}_k$ su anillo de enteros. Recordar que $[k:\mathbb{Q}]=|\Sigma|=$ dimensión de $k$ como $\mathbb{Q}$ -espacio vectorial.

El discriminante de $k$ : El cuerpo $k$ se puede escribir siempre como una extension simple de $\mathbb{Q},$ es decir $k=\mathbb{Q}(\alpha)$ para algún entero algebraico $\alpha.$ Si $f\in\mathbb{Z}[x]$ es el polinomio mónico irreducible que anula $\alpha,$ entonces $\Delta_k$ (el discriminante de $k$ ) se define como el cuadrado del discriminante de $f$ (como esta definido acá, ahí le llamé resultante a lo que ahora le llamo discriminante…). Como $f\in\mathbb{Z}[x]$ se tiene que $\Delta_k\in\mathbb{Z}$ y como $f$ es irreducible, se tiene ademas que $\Delta_k\neq0.$

La función $\zeta$ : Resulta que si $I$ es un ideal de ${\mathcal R}_k$ entonces el cociente ${\mathcal R}_k/I$ es necesariamente finito, de cardinal $N(I).$ La función zeta de Dedekind se define, para $s\in\mathbb{C}$ con $\mathfrak R(s)>1,$ como

$\zeta_k(s)=\sum_{I\textrm{ ideal de }{\mathcal R}_k}\frac1{N(I)^s}.$

Si $\Gamma$ es un subgrupo discreto de isometrias de $\mathbb{H}^2$ de co-area finita, entonces $\textrm{area}(\mathbb{H}^2/\Gamma)$ es un múltiplo racional de $\pi$ (no olvidarse que $\Gamma$ puede tener torsion), asi, sacando de la formula de volumen todo lo que es obviamente racional (el termino que no definimos todavia es entero), se obtiene el siguiente teorema de Siegel:

Teorema.(Siegel) Sea $k$ totalmente real, entonces

$\frac{\sqrt{\Delta_k}\zeta_k(2)}{\pi^{2[k:\mathbb{Q}]}}$

es racional.

Comparar con $k=\mathbb{Q}$ y $\zeta_\mathbb{Q}(2)=\sum_n1/{n^2}=\pi^2/6.$

El discriminante de un álgebra de cuaterniones $H$ : Resulta que hay varios cuerpos completos donde $k$ se inyecta como un subcuerpo denso. Los ejemplos obvios son $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C},$ los otros ‘lugares’ de $k$ dependen de la elección de un ideal primo $\mathcal P$ de ${\mathcal R}_k,$ estos son los llamados cuerpos $\mathcal P$ -ádicos. Llamemosle $k_{\mathcal P}$ a la completación $\mathcal P$ -ádica de $k.$ Resulta que los ideales primos ${\mathcal P}$ tal que $H\otimes k_{\mathcal P}$ ramifica es un conjunto finito (esto es un teorema). El producto de estos ideales

$\Delta(H)=\prod_{{\mathcal P}:\,H\textrm{ ramifica en }\mathcal P}{\mathcal P}$

es, por definición, el discriminante de $H.$

Me parece interesante remarcar de este último punto, el hecho que si bien $k$ es real y estamos calculando el area de una superficie hiperbólica, la fórmula depende de todas las posibles completaciones de $k.$