diciembre | 2012 | Coloquio Oleis

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Regularidad de funciones armónicas y Teorema de Liouville

In Análisis Real y Complejo on domingo 30, diciembre, 2012 at 10:41 am

Motivado por esta pregunta en mathoverflow voy a explorar un camino hacia la demostración del Teorema de Liouville (toda función armónica y acotada en $\mathbb{R}^d$ es constante) y la regularidad de funciones armónicas (toda función armónica en $\mathbb{R}^d$ es de clase $C^{\infty}$ ).

El camino se basa en usar la propiedad del valor medio como definición de función armónica. A partir de ahí podemos estimar la diferencia del valor de la función en dos puntos a partir de la differencia simétrica de dos bolas en $\mathbb{R}^d$ .

El Teorema de Liouville sigue de la observación que el volúmen de la differencia simétrica es pequeña con respecto al volúmen de cada bola si el radio es grande. La regularidad viene de la observación que para un radio fijo dicho volúmen está acotado por una función lineal de la distancia entre los centros cuando esta distancia es pequeña.

Técnicamente esto nos permite mostrar que las funciones armónicas son Lipschitz. Usamos el Teorema de Rademacher y la observación de que las derivadas parciales también son armónicas para concluir que toda función armónica es de clase $C^\infty$ .