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Octoniones escindidos

In Álgebra, Álgebra Lineal on Jueves 4, diciembre, 2014 at 12:56 pm

por Andrés Sambarino

En un intento por entender los grupos de Lie excepcionales me crucé con un resultado sobre álgebras compuestas. Si k es un cuerpo y A un álgebra con unidad sobre k, decimos que A es compuesta si existe una forma cuadrática no degenerada q:A\to k que respeta el producto, es decir q(xy)=q(x)q(y).

El enunciado que quiero contar es el siguiente:

Teorema [Hurwitz-Jacobson]. Sea A un álgebra compuesta, entonces \dim_k A=1,2,4 ou 8.

Además, si \dim A=2 entonces A es conmutativa y asociativa, si \dim A=4 es asociativa pero no conmutativa, si \dim A=8 entonces no es ni conmutativa ni asociativa.

Es interesante comparar esto con algunos resultados mas conocidos, por ej el Teorema de Stiefel: si \mathbb{R}^n tiene una estructura de álgebra sin divisores de cero, entonces n=1,2,4 ou 8. Leer el resto de esta entrada »