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Crecimiento asintótico de órbitas periódicas.

In Sistemas Dinámicos on Miércoles 17, marzo, 2010 at 5:26 pm

por Andrés Sambarino

Sea f:X\to X un sistema dinámico con un numero finito de órbitas periódicas de cada período. Consideramos

\nu_n=\#\{x\in X: f^n(x)=x\}

el número de puntos fijos de f^n y la siguiente serie de potencias llamada función zeta: \zeta:\mathbb C\to\mathbb C dada por

{\displaystyle \zeta(z)=\exp \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}n \nu_n.}

Parecería que esta función contiene información dinámica, aunque no queda claro como convertir información sobre la función \zeta (por ejemplo, su radio de convergencia) en información sobre el sistema dinámico f. Nuestro objetivo es entonces mostrar cómo utilizando esta función se puede demostrar un teorema de crecimiento de órbitas periódicas para sub-shifts de tipo finito. Más precisamente, sea

\pi(x)=\#\{\textrm{\'orbitas peri\'odicas de per\'iodo}\leq x\}=\sum_{\lambda(\tau)\leq x} 1

donde \lambda(\tau) es el período de la órbita periódica \tau. El objetivo es demostrar el siguiente teorema:

Teorema[Parry] Sea \sigma:\Sigma_A\to\Sigma_A un sub-shift de tipo finito irreducible. Entonces existe \beta>1 tal que

x\beta^{-x}\pi(x)\to \beta/(\beta-1)

cuando x\to\infty. \beta^{-1} es el radio de convergencia de la serie \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}n \nu_n.

Como observación comentamos que además \log \beta es la entropía topológica de \sigma, pero ese ya es otro teorema. El artículo esta basado en el libro de Parry-Pollicott “Zeta Functions and the periodic orbit structure of hiperbolic dynamics”.

Sub-shifts de tipo finito.

Comenzamos por explicar qué es un sub-shift de tipo finito.

Dado un conjunto finito de símbolos (o alfabeto) \{1,\cdots, k\} consideramos el espacio \Sigma={\{1,\cdots,k\} }^{\mathbb Z} de todas las sucesiones bilaterales de elementos de \{1,\cdots,k\}. Este espacio es metrizable y topológicamente es un conjunto de Cantor. Tenemos una transformación natural llamada shift, \sigma :\Sigma\to\Sigma dada por \sigma(\{x_n\})=\{x_{n+1}\}.

Sea A una matriz k\times k cuyas entradas A(i,j) consisten en ceros o unos. Esta matriz induce un subconjunto \sigma-invariante, que llamamos \Sigma_A, de la siguiente forma:

\{x_n\}\in \Sigma_A \Leftrightarrow para todo n\in\mathbb Z vale que A(x_n,x_{n+1})=1.

Es decir, si A(i,j)=0 entonces ninguna sucesión de \Sigma_A tiene ij como una subpalabra. El sistema dinámico \sigma:\Sigma_A\to\Sigma_A es lo que se llama un sub-shift de tipo finito.

Si existe n>0 tal que todas las entradas de A^n son positivas decimos que A es irreducible. En este caso el sistema dinámico \sigma:\Sigma_A\to\Sigma_A es transitivo y sus órbitas periódicas son densas.

La Función zeta.

Estudiamos entonces propiedades de la función zeta para un sub-shift de tipo finito irreducible \sigma:\Sigma_A\to\Sigma_A que quedará fijo de aquí en mas. Como una potencia de A tiene todas sus entradas positivas, aplicamos el teorema de Perron-Frobenius a A^n:

Teorema[Perron-Fröbenius]. Sea M una matriz con coeficientes estrictamente positivos, entonces M tiene un único valor propio de módulo máximo y este valor propio es simple, es decir, el espacio propio asociado tiene dimensión 1.

Obtenemos que A tiene un único valor propio de módulo maximo, \beta. Es fácil ver que \beta es real e incluso tenemos que \beta>1. Podemos demostrar entonces la primer proposición:

Proposición. El radio de convergencia de la serie

{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}n \sum_{\{x\in\Sigma_A:\sigma^n x=x\}}1}

es \beta^{-1}.

Demostración. Recordemos que \nu_n=\sum_{\{x:\sigma^n x=x\}}1. El radio de convergencia de la serie se calcula entonces como el \liminf_n (\nu_n/n)^{-1/n} =\liminf_n \nu_n^{-1/n}. Vamos a probar que

{\displaystyle \frac 1n\log \sum_{\{x:\sigma^n x=x\}}1\to \log\beta.}

La observación clave para probar esto es ver que

(0)                                              \sum_{ \{x:\sigma^n x=x\} }1=\textrm{Traza}(A^n).

Para esto utilizamos una formula general para calcular la traza de una potencia de una matriz dada:

{\displaystyle \textrm{Traza} (A^n)=\sum_{1\leq i_1,\cdots,i_n\leq k}A(i_1,i_2)\cdots A(i_n,i_1).}

Recordamos que los coeficientes A son 0 o 1, y entonces el producto A(i_1,i_2)\cdots A(i_n,i_1)=1 quiere decir exactamente que la palabra i_1i_2\cdots i_ni_1 pertenece a \Sigma_A, es decir, un punto fijo de \sigma^n. Queda entonces probada la fórmula (0).

Sean \beta,\lambda_1,\cdots, \lambda_l los valores propios de A (que pueden ser complejos). Sabemos del teorema de Perron-Fröbenius que |\lambda_i|<\beta para todo i, de esto último se deduce que:

{\displaystyle \frac 1n\log \sum_{\{x:\sigma^n x=x\}}1=\frac 1n \log \textrm{Traza}(A^n)=}

{\displaystyle =\frac 1n \log \{\beta^n+\lambda_1^n+\cdots+\lambda_l^n\}\to \log\beta.}

\square

Dos fórmulas para la función zeta.

En esta sección vamos a demostrar dos formas de escribir \zeta que reflejan diferentes aspectos.

Proposición 1. { \displaystyle \zeta(z)=\frac 1{\det(I-zA)} }

Demostración. A partir de la ecuación (0) tenemos que

\zeta(z)=\exp \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n}\textrm{Traza}(A^n)=\exp \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}n (\beta^n+\lambda_1^n+\cdots+\lambda_l^n)=

=\exp \sum_{n=1}^\infty \frac{(\beta z)^n}{n}+\sum_{k=1}^l \frac{(\lambda_iz)^n}{n}

Aplicamos entonces el desarrollo de Taylor de \log(1-x):

\log(1-x)=-\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}n.

y obtenemos entonces {\displaystyle =\exp \left \{- \log(1-\beta z)(1-\lambda_1z)\cdots(1-\lambda_lz)\right\} = \frac 1{\det(I-zA)}}

\square

A la fórmula de la proposición 1 le llamaremos (1).

Proposición 2. Si \tau denota una órbita periódica de \sigma y \lambda(\tau) su período entonces tenemos que

{\displaystyle\zeta(z)=\prod_{\tau-\textrm{\'orbita peri\'odica}} (1-z^{\lambda(\tau)})^{-1}}

Esta será llamada ecuación (2).

Demostración. {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}n \sum_{\{x:\sigma^n x=x\}}1}=

{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sum_{\sigma^n(x)=x,\ n\textrm{-m\'inimo}}\sum_{k=1}^\infty \frac{z^{kn}}{kn}= \sum_{\tau\textrm{-\'orbita peri\'odica}} \sum_{k=1}^\infty \frac{z^{\lambda(\tau)k}}k }

Aplicando nuevamente el desarrollo del logaritmo tenemos que

{\displaystyle \zeta(z)=\exp \sum_{\tau\textrm{-\'orbita peri\'odica}}-\log(1-z^{\lambda(\tau)})=\prod_{\tau\textrm{-\'orbita peri\'odica}}(1-z^{\lambda(\tau)})^{-1}}

\square

Demostración del teorema de Parry.

La expresión (2) para la función zeta nos da una cota superior para el creciemiento de la función \pi(x)= cantidad de órbitas periódicas de período \leq x.

Lema 1. Para todo \gamma>1 se tiene que \beta^{-\gamma x}\pi(x)\to 0 cuando x\to\infty.

Demostración. Como \zeta(z) converge para todo |z|<\beta^{-1} tenemos que

{\displaystyle \zeta(\beta^{-\gamma})=\prod_{\tau\textrm{-\'orbita peri\'odica}}(1-\beta^{- \gamma\lambda(\tau)})^{-1}\geq}

{\displaystyle \prod_{\tau}(1+\beta^{-\gamma\lambda(\tau)})}

(simplemente porque (1+x)\leq 1/(1-x)). El término anterior es mayor o igual que

{\displaystyle \prod_{\tau: \lambda(\tau)\leq x}(1+\beta^{-\gamma x}) \geq }

{\displaystyle (1+\beta^{-\gamma x})^{\pi(x)} \geq 1+\pi(x)\beta^{-\gamma x}}.

Tenemos entonces que \pi(x)\beta^{-\gamma x} está acotado por una cota que no depende de \gamma>1, concluimos entonces que \pi(x)\beta^{-\gamma x}\to 0.

\square

Recordamos que si \beta, \lambda_1,\ldots, \lambda_l son los valores propios de A entonces se tiene que |\lambda_i|<\beta lo que implica, usando la ecuación (1), que

{\displaystyle \frac{\zeta'(z)}{\zeta(z)}=\frac {\beta}{1-\beta z}+\alpha(z)}

donde \alpha es holomorfa en un disco de radio \exp(\varepsilon)\beta^{-1} para algún \varepsilon suficientemente pequeño. (Esto se ve con un cálculo explicito de \zeta'(z)/\zeta(z) observando que en el denominador solo quedan terminos de la forma 1-\lambda_i z ).

El hecho de que el radio de convergencia de \alpha sea mayor que el de \zeta es un punto clave en la demostración como veremos en los pasos siguientes.

De la ecuación (2) y del cálculo anterior obtenemos (usando nuevamente el desarrollo del logaritmo) que:

{\displaystyle \frac{\zeta'(z)}{\zeta(z)}=\frac 1z\sum_{\tau, n\in\mathbb N}\lambda(\tau)z^{\lambda(\tau)n}=}  {\displaystyle \frac 1z \sum_{n=1}^\infty \beta^nz^n +\alpha(z)}

donde el radio de convergencia de \alpha(z) es \exp(\varepsilon)/\beta

Para simplificar la notación consideramos n\lambda(\tau) como el “período” de la órbita \tau recorrida n veces, las órbitas periódicas contadas con multiplicidad las notaremos \tau' y ponemos \Lambda(\tau') al verdadero período, es decir, si \tau'=\tau^n entonces \lambda(\tau')=n\lambda(\tau) y \Lambda(\tau')=\lambda(\tau). La ecuación de arriba queda entonces

{\displaystyle \frac 1z\sum_{\tau'}\Lambda(\tau')z^{\lambda(\tau')}=}  {\displaystyle \frac 1z \sum_{n=1}^\infty \beta^nz^n +\alpha(z)}

Despejando \alpha tenemos

{\displaystyle \alpha(z)=\sum_{n=1}^\infty z^{n-1}\left(\sum_{\lambda(\tau')=n }\Lambda(\tau')-\beta^n\right)}.

Como el radio de convergencia de \alpha es \exp(\varepsilon)\beta^{-1} obtenemos para un \varepsilon mas chico que:

{\displaystyle \frac{\exp(\varepsilon n)}{\beta^n}\left(\sum_{\lambda(\tau')=n }\Lambda(\tau')-\beta^n\right)\to0} cuando n\to\infty.

Definimos \psi(x)=\sum_{\lambda(\tau')\leq x} \Lambda(\tau') que, usando el desarrollo para la serie geométrica, es igual a

{\displaystyle \psi(x)=\sum_{n=1}^x \left(\sum_{\lambda(\tau')=n}\Lambda(\tau')-\beta^n\right) +\frac{\beta}{\beta-1}(\beta^x-1)}

Usando la estimación anterior tenemos probado el lema siguiente:

Lema 2. {\displaystyle \left|\psi(x)-\frac\beta{\beta-1}(\beta^x-1)\right|\leq C\frac{\beta^x}{\exp\{\varepsilon x\}}.}

Para terminar solo nos queda relacionar \pi y \psi:

  • \psi(x)\leq x\pi(x)
  • Si x>y entonces \pi(x)\leq \pi(y)+\psi(x)/y.

La primer relación, junto con el lema 2 implican que

{\displaystyle \liminf_{x\to\infty} \beta^{-x}x\pi(x)\geq \beta/(\beta-1).}

Si ponemos x=\gamma y con \gamma>1 la segunda relación nos da:

x\beta^{-x}\pi(x)\leq \gamma y \beta^{-\gamma y}\pi(y) +\gamma\beta^{-x}\psi(x)

Aplicando los lemas 1 y 2 obtenemos

{\displaystyle \limsup_{x\to\infty} x\beta^{-x}\pi(x)\leq \gamma\beta/(\beta-1)} para todo \gamma>1.

Esto concluye la prueba del teorema de Parry.

  1. ¡Buenísimo el artículo Sambita! ¡Saludos!

  2. […] y eso nos hace perder precisión en la estimativa) pero es menos fina que la que se obtiene en este post utilizando la función […]

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